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高校数学解説
文献あり

さいころを複数回振った出目の和が等しい確率の求め方

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$s$面のさいころを$n$回振った出目の和が$m$である確率を求めます。

同じ出目でも順序が違っていれば別の場合と考えて、$s$面のさいころを$n$回振った出目の和が$m$である場合の数を求めればよいです。その場合の数が分子で分母が$s^n$である分数が求める確率になります。
そして、$s$面のさいころを$n$回振った出目の和が$m$である場合の数を、和が$m$になる$n$個の$s$以下の正整数の組の個数と言い換えます。こうすることで、便宜上考える$s+1$以上の数が現れる場合に対しても違和感が少なくなるでしょう。
$A_U=\{\,\omega\,:\,\omega$は和が$m$になる$n$個の正整数の組$\},\ A=\{\,\omega\,:\,\omega$は和が$m$になる$n$個の$s$以下の正整数の組$\},\ A_1=\{\,\omega\,:\,\omega$は和が$m$になる$n$個の正整数の組で、その第$1$成分は$s+1$以上$\},\ ...,\ A_k=\{\,\omega\,:\,\omega$は和が$m$になる$n$個の正整数の組で、その第$k$成分は$s+1$以上$\},\ ...,\ A_n=\{\,\omega\,:\,\omega$は和が$m$になる$n$個の正整数の組で、その第$n$成分は$s+1$以上$\}$と、事象を定義します。
すると、求めたい場合の数は$|A|$になります。
また、定義した集合には次の関係が成立します。
$A_U=A\cup(A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n),\ A\cap(A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n)=\emptyset$
そして、包除原理より定義した集合の元の個数には次の関係が成立します。
$|A_U|=|A|+|A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n|-|A\cap(A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n)|$
$\therefore\ |A|=|A_U|-|A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n|$
$|A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n|=|A_1|+\ldots+|A_n|-|A_1\cap A_2|-\ldots-|A_{n-1}\cap A_n|+\ldots+(-1)^{n-1}|A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n|$
$\therefore\ |A|=|A_U|-|A_1|-\ldots-|A_n|+|A_1\cap A_2|+\ldots+|A_{n-1}\cap A_n|-\ldots+(-1)^n|A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n|$
この式の右辺に現れる数を順に求めればよいです。右辺が複雑に見える人のために補足をしておくと、$A_1,A_2,\ldots,A_n$から$k$個取るときのすべての組み合わせを考え、それぞれの共通部分の元の個数を足し引きしています。順序を除いて$A_1,A_2,\ldots,A_n$は同じような事象となるため、組み合わせの場合の数を用いて簡略化できます。
まず$|A_U|$を求めます。$|A_U|$は和が$m$になる$n$個の正整数の組の個数です。
$m< n$ならば$|A_U|=0$です。
$m\geq n$ならば次のように考えられます。
和が$m$になる$n$個の正整数の組の個数は式のすべての項から$1$を引くことで、和が$m-n$になる$n$個の非負整数の組の個数と同じであることがわかります。そして和が$m-n$になる$n$個の非負整数の組の個数は、$n$種類から$m-n$個選ぶ重複組み合わせの場合の数と同じです。そして、これは$(m-n)$個のものと$(n-1)$個の仕切りを並べる順列の場合の数と同じなので$|A_U|=\,_{m-1}\!\!\:\mathrm{C}_{n-1}$です。
次に$|A_1|,|A_2|,\ldots,|A_n|$を求めます。$|A_k|$は和が$m$になる$n$個の正整数の組で、その第$k$成分が$s+1$以上であるものの個数です。
$m< n+s$ならば$|A_1|=|A_2|=\ldots=|A_n|=0$です。
$m\geq n+s$ならば次のように考えられます。
和が$m-s$になる$n$個の正整数の組を考え、その第$k$成分に$s$を足すと第$k$成分は$s+1$以上で和は$m$になります。つまり、$|A_k|$は和が$m-s$になる$n$個の正整数の組の個数と同じだということです。そして、$A_k$の個数は$_{n}\!\!\:\mathrm{C}_{1}$ですから$|A_1|+\ldots+|A_n|=\,_{n}\!\!\:\mathrm{C}_{1}\cdot\,_{m-s-1}\!\!\:\mathrm{C}_{n-1}$となります。
同様に$|A_1\cap A_2|,\ldots,|A_{n-1}\cap A_n|$を求めます。$|A_{k_1}\cap A_{k_2}|\,\,(k_1\neq k_2)$は和が$m$になる$n$個の正整数の組で、その第$k_1$成分と第$k_2$成分が$s+1$以上であるものの個数です。
$m< n+2s$ならば$|A_1\cap A_2|=\ldots=|A_{n-1}\cap A_n|=0$です。
$m\geq n+2s$ならば次のように考えられます。
和が$m-2s$になる$n$個の正整数の組を考え、その第$k_1$成分と第$k_2$成分にそれぞれ$s$を足します。すると、第$k_1$成分と第$k_2$成分は$s+1$以上で和は$m$になります。つまり、$|A_{k_1}\cap A_{k_2}|\,\,(k_1\neq k_2)$は和が$m-2s$になる$n$個の正整数の組の個数と同じだということです。そして、$A_{k_1}$$A_{k_2}$の組の個数は$_{n}\!\!\:\mathrm{C}_{2}$ですから$|A_1\cap A_2|+\ldots+|A_{n-1}\cap A_n|=\,_{n}\!\!\:\mathrm{C}_{2}\cdot\,_{m-2s-1}\!\!\:\mathrm{C}_{n-1}$となります。
同様のことが一般の場合で言えます。$m\geq n+rs$が成立する$r$について、少なくとも$r$個の成分が$7$以上になるが和は$m$である組が存在することに注意して、総和の形で表したのが以下です。
$$|A|=\sum_{r=0}^{\lfloor\frac{m-n}{s}\rfloor}(-1)^r\,_{n}\!\!\:\mathrm{C}_{r}\cdot\,_{m-rs-1}\!\!\:\mathrm{C}_{n-1}$$
よって、$s$面のさいころを$n$回振った出目の和が$m$である確率は
$$\frac{1}{s^n}\sum_{r=0}^{\lfloor\frac{m-n}{s}\rfloor}(-1)^r\,_{n}\!\!\:\mathrm{C}_{r}\cdot\,_{m-rs-1}\!\!\:\mathrm{C}_{n-1}$$
であることがわかりました。

しかし、これでは$m$が大きいほど計算が面倒になります。
そこで、$s$面のさいころを$n$回振った出目の和が$m$である確率は$s$面のさいころを$n$回振った出目の和が$n(s+1)-m$である確率と等しいことを証明します。
さいころで$1$以上$s$以下の整数$a$が出るという事象は同様に確からしいですから、$a$$s+1-a$が出る確率は等しいです。したがって、$n$回さいころを振ったそれぞれの出目を$a\to s+1-a$で置き換えます。$n$回さいころを振ったときの出目が$(a_1,a_2,\ldots,a_n)$でその和が$m$であるとします。$a_1+a_2+\ldots+a_n$を置き換えた$(s+1-a_1)+(s+1-a_2)+\ldots+(s+1-a_n)$を計算すると$n(s+1)-m$となります。よって、$s$面のさいころを$n$回振った出目の和が$m$である確率は$s$面のさいころを$n$回振った出目の和が$n(s+1)-m$である確率と等しいです。

例として、$6$面のさいころを$3$回振った出目の和が$9$である確率を求めます。
$$\begin{align*} \frac{1}{6^3}\sum_{r=0}^{\lfloor\frac{9-3}{6}\rfloor}(-1)^r\,_{3}\!\!\:\mathrm{C}_{r}\cdot\,_{9-6r-1}\!\!\:\mathrm{C}_{3-1} &=\frac{1}{6^3}\sum_{r=0}^{1}(-1)^r\,_{3}\!\!\:\mathrm{C}_{r}\cdot\,_{8-6r}\!\!\:\mathrm{C}_{2}\\ &=\frac{_{3}\!\!\:\mathrm{C}_{0}\cdot\,_{8}\!\!\:\mathrm{C}_{2}-\,\!_{3}\!\!\:\mathrm{C}_{1}\cdot\,_{2}\!\!\:\mathrm{C}_{2}}{6^3}\\ &=\frac{1\cdot28-3\cdot 1}{6^3}\\ &=\frac{25}{216} \end{align*}$$
そして$3\cdot(6+1)-9=12$より、$6$面のさいころを$3$回振った出目の和が$12$である確率も$\frac{25}{216}$であることがわかります。

参考文献

投稿日:2022421

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