面のさいころを回振った出目の和がである確率を求めます。
同じ出目でも順序が違っていれば別の場合と考えて、面のさいころを回振った出目の和がである場合の数を求めればよいです。その場合の数が分子で分母がである分数が求める確率になります。
そして、面のさいころを回振った出目の和がである場合の数を、和がになる個の以下の正整数の組の個数と言い換えます。こうすることで、便宜上考える以上の数が現れる場合に対しても違和感が少なくなるでしょう。
は和がになる個の正整数の組は和がになる個の以下の正整数の組は和がになる個の正整数の組で、その第成分は以上は和がになる個の正整数の組で、その第成分は以上は和がになる個の正整数の組で、その第成分は以上と、事象を定義します。
すると、求めたい場合の数はになります。
また、定義した集合には次の関係が成立します。
そして、包除原理より定義した集合の元の個数には次の関係が成立します。
この式の右辺に現れる数を順に求めればよいです。右辺が複雑に見える人のために補足をしておくと、から個取るときのすべての組み合わせを考え、それぞれの共通部分の元の個数を足し引きしています。順序を除いては同じような事象となるため、組み合わせの場合の数を用いて簡略化できます。
まずを求めます。は和がになる個の正整数の組の個数です。
ならばです。
ならば次のように考えられます。
和がになる個の正整数の組の個数は式のすべての項からを引くことで、和がになる個の非負整数の組の個数と同じであることがわかります。そして和がになる個の非負整数の組の個数は、種類から個選ぶ重複組み合わせの場合の数と同じです。そして、これは個のものと個の仕切りを並べる順列の場合の数と同じなのでです。
次にを求めます。は和がになる個の正整数の組で、その第成分が以上であるものの個数です。
ならばです。
ならば次のように考えられます。
和がになる個の正整数の組を考え、その第成分にを足すと第成分は以上で和はになります。つまり、は和がになる個の正整数の組の個数と同じだということです。そして、の個数はですからとなります。
同様にを求めます。は和がになる個の正整数の組で、その第成分と第成分が以上であるものの個数です。
ならばです。
ならば次のように考えられます。
和がになる個の正整数の組を考え、その第成分と第成分にそれぞれを足します。すると、第成分と第成分は以上で和はになります。つまり、は和がになる個の正整数の組の個数と同じだということです。そして、との組の個数はですからとなります。
同様のことが一般の場合で言えます。が成立するについて、少なくとも個の成分が以上になるが和はである組が存在することに注意して、総和の形で表したのが以下です。
よって、面のさいころを回振った出目の和がである確率は
であることがわかりました。
しかし、これではが大きいほど計算が面倒になります。
そこで、面のさいころを回振った出目の和がである確率は面のさいころを回振った出目の和がである確率と等しいことを証明します。
さいころで以上以下の整数が出るという事象は同様に確からしいですから、とが出る確率は等しいです。したがって、回さいころを振ったそれぞれの出目をで置き換えます。回さいころを振ったときの出目がでその和がであるとします。を置き換えたを計算するととなります。よって、面のさいころを回振った出目の和がである確率は面のさいころを回振った出目の和がである確率と等しいです。
例として、面のさいころを回振った出目の和がである確率を求めます。
そしてより、面のさいころを回振った出目の和がである確率もであることがわかります。