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さいころを複数回振った出目の和が等しい確率の求め方

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$s$ 面のさいころを $n$ 回振った出目の和が $m$ である確率を求めます。

同じ出目でも順序が違っていれば別の場合と考えて、 $s$ 面のさいころを $n$ 回振った出目の和が $m$ である場合の数を求めればよいです。その場合の数が分子で分母が $s^{n}$ である分数が求める確率になります。
そして、 $s$ 面のさいころを $n$ 回振った出目の和が $m$ である場合の数を、和が $m$ になる $n$ 個の $s$ 以下の正整数の組の個数と言い換えます。こうすることで、便宜上考える $s + 1$ 以上の数が現れる場合に対しても違和感が少なくなるでしょう。
$A_{U} = {ω : ω$ は和が $m$ になる $n$ 個の正整数の組 $}, A = {ω : ω$ は和が $m$ になる $n$ 個の $s$ 以下の正整数の組 $}, A_{1} = {ω : ω$ は和が $m$ になる $n$ 個の正整数の組で、その第 $1$ 成分は $s + 1$ 以上 $}, . . ., A_{k} = {ω : ω$ は和が $m$ になる $n$ 個の正整数の組で、その第 $k$ 成分は $s + 1$ 以上 $}, . . ., A_{n} = {ω : ω$ は和が $m$ になる $n$ 個の正整数の組で、その第 $n$ 成分は $s + 1$ 以上 $}$ と、事象を定義します。
すると、求めたい場合の数は $| A |$ になります。
また、定義した集合には次の関係が成立します。
$A_{U} = A \cup (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}), A \cap (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}) = \emptyset$
そして、包除原理より定義した集合の元の個数には次の関係が成立します。
$| A_{U} | = | A | + | A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} | - | A \cap (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}) |$
$∴ | A | = | A_{U} | - | A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} |$
$| A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} | = | A_{1} | + \dots + | A_{n} | - | A_{1} \cap A_{2} | - \dots - | A_{n - 1} \cap A_{n} | + \dots + (- 1)^{n - 1} | A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n} |$
$∴ | A | = | A_{U} | - | A_{1} | - \dots - | A_{n} | + | A_{1} \cap A_{2} | + \dots + | A_{n - 1} \cap A_{n} | - \dots + (- 1)^{n} | A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n} |$
この式の右辺に現れる数を順に求めればよいです。右辺が複雑に見える人のために補足をしておくと、 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ から $k$ 個取るときのすべての組み合わせを考え、それぞれの共通部分の元の個数を足し引きしています。順序を除いて $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ は同じような事象となるため、組み合わせの場合の数を用いて簡略化できます。
まず $| A_{U} |$ を求めます。 $| A_{U} |$ は和が $m$ になる $n$ 個の正整数の組の個数です。
$m < n$ ならば $| A_{U} | = 0$ です。
$m \geq n$ ならば次のように考えられます。
和が $m$ になる $n$ 個の正整数の組の個数は式のすべての項から $1$ を引くことで、和が $m - n$ になる $n$ 個の非負整数の組の個数と同じであることがわかります。そして和が $m - n$ になる $n$ 個の非負整数の組の個数は、 $n$ 種類から $m - n$ 個選ぶ重複組み合わせの場合の数と同じです。そして、これは $(m - n)$ 個のものと $(n - 1)$ 個の仕切りを並べる順列の場合の数と同じなので $| A_{U} | =_{m - 1} C_{n - 1}$ です。
次に $| A_{1} |, | A_{2} |, \dots, | A_{n} |$ を求めます。 $| A_{k} |$ は和が $m$ になる $n$ 個の正整数の組で、その第 $k$ 成分が $s + 1$ 以上であるものの個数です。
$m < n + s$ ならば $| A_{1} | = | A_{2} | = \dots = | A_{n} | = 0$ です。
$m \geq n + s$ ならば次のように考えられます。
和が $m - s$ になる $n$ 個の正整数の組を考え、その第 $k$ 成分に $s$ を足すと第 $k$ 成分は $s + 1$ 以上で和は $m$ になります。つまり、 $| A_{k} |$ は和が $m - s$ になる $n$ 個の正整数の組の個数と同じだということです。そして、 $A_{k}$ の個数は $_{n} C_{1}$ ですから $| A_{1} | + \dots + | A_{n} | =_{n} C_{1} \cdot_{m - s - 1} C_{n - 1}$ となります。
同様に $| A_{1} \cap A_{2} |, \dots, | A_{n - 1} \cap A_{n} |$ を求めます。 $| A_{k_{1}} \cap A_{k_{2}} | (k_{1} \neq k_{2})$ は和が $m$ になる $n$ 個の正整数の組で、その第 $k_{1}$ 成分と第 $k_{2}$ 成分が $s + 1$ 以上であるものの個数です。
$m < n + 2 s$ ならば $| A_{1} \cap A_{2} | = \dots = | A_{n - 1} \cap A_{n} | = 0$ です。
$m \geq n + 2 s$ ならば次のように考えられます。
和が $m - 2 s$ になる $n$ 個の正整数の組を考え、その第 $k_{1}$ 成分と第 $k_{2}$ 成分にそれぞれ $s$ を足します。すると、第 $k_{1}$ 成分と第 $k_{2}$ 成分は $s + 1$ 以上で和は $m$ になります。つまり、 $| A_{k_{1}} \cap A_{k_{2}} | (k_{1} \neq k_{2})$ は和が $m - 2 s$ になる $n$ 個の正整数の組の個数と同じだということです。そして、 $A_{k_{1}}$ と $A_{k_{2}}$ の組の個数は $_{n} C_{2}$ ですから $| A_{1} \cap A_{2} | + \dots + | A_{n - 1} \cap A_{n} | =_{n} C_{2} \cdot_{m - 2 s - 1} C_{n - 1}$ となります。
同様のことが一般の場合で言えます。 $m \geq n + r s$ が成立する $r$ について、少なくとも $r$ 個の成分が $7$ 以上になるが和は $m$ である組が存在することに注意して、総和の形で表したのが以下です。
$| A | = \sum_{r = 0}^{⌊ \frac{m - n}{s} ⌋} (- 1)^{r}_{n} C_{r} \cdot_{m - r s - 1} C_{n - 1}$
よって、 $s$ 面のさいころを $n$ 回振った出目の和が $m$ である確率は
$\frac{1}{s^{n}} \sum_{r = 0}^{⌊ \frac{m - n}{s} ⌋} (- 1)^{r}_{n} C_{r} \cdot_{m - r s - 1} C_{n - 1}$
であることがわかりました。

しかし、これでは $m$ が大きいほど計算が面倒になります。
そこで、 $s$ 面のさいころを $n$ 回振った出目の和が $m$ である確率は $s$ 面のさいころを $n$ 回振った出目の和が $n (s + 1) - m$ である確率と等しいことを証明します。
さいころで $1$ 以上 $s$ 以下の整数 $a$ が出るという事象は同様に確からしいですから、 $a$ と $s + 1 - a$ が出る確率は等しいです。したがって、 $n$ 回さいころを振ったそれぞれの出目を $a \to s + 1 - a$ で置き換えます。 $n$ 回さいころを振ったときの出目が $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ でその和が $m$ であるとします。 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ を置き換えた $(s + 1 - a_{1}) + (s + 1 - a_{2}) + \dots + (s + 1 - a_{n})$ を計算すると $n (s + 1) - m$ となります。よって、 $s$ 面のさいころを $n$ 回振った出目の和が $m$ である確率は $s$ 面のさいころを $n$ 回振った出目の和が $n (s + 1) - m$ である確率と等しいです。

例として、 $6$ 面のさいころを $3$ 回振った出目の和が $9$ である確率を求めます。
$\begin{aligned} \frac{1}{6^{3}} \sum_{r = 0}^{⌊ \frac{9 - 3}{6} ⌋} (- 1)^{r}_{3} C_{r} \cdot_{9 - 6 r - 1} C_{3 - 1} & = \frac{1}{6^{3}} \sum_{r = 0}^{1} (- 1)^{r}_{3} C_{r} \cdot_{8 - 6 r} C_{2} \\ = \frac{_{3} C_{0} \cdot_{8} C_{2} -_{3} C_{1} \cdot_{2} C_{2}}{6^{3}} \\ = \frac{1 \cdot 28 - 3 \cdot 1}{6^{3}} \\ = \frac{25}{216} \end{aligned}$
そして $3 \cdot (6 + 1) - 9 = 12$ より、 $6$ 面のさいころを $3$ 回振った出目の和が $12$ である確率も $\frac{25}{216}$ であることがわかります。