高校数学解説

楕円積分を用いた楕円弧長の計算　その2

第2種楕円積分,弧長,楕円

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はじめに
　その1では、第I象限に限定して、第2種不完全楕円積分を用いて楕円弧長を求める方法を解説した。今回は、弧の存在範囲を、第I及び第IV象限（すなわち、楕円の右半分）に拡げる。楕円は、上下左右対称なので、第I象限での計算方法が分かれば、基本的には全てのケースで計算可能である。しかし、実際には拡張が必要になった時、短時間で対応する事が困難な事が多く、定式化しておく事は、無意味ではないと思われる。さらに、今回は幾つかの計算例を追加した。
$0 < b \leq a$ の時の弧長
離心率は、 $e = \sqrt{1 - (b / a)^{2}}$ である。
その1と同様に、媒介変数 $u$ を用いた第2の形式で楕円を表すが、楕円の右半分を動くものとする。
$x = a \sin u, y = b \cos u, 0 \leq u \leq π$
$θ$ の動く範囲は、 $- π / 2 \leq θ \leq π / 2$ とする。
第2種不完全楕円積分 $E (u, e)$ の計算にあたっては、 $θ$ から $u$ への変換が必要になるが、分母の0等への注釈の煩わしさを避ける為、変換関数を導入する。
$t h 2 u (θ) = \begin{array}{r} {\begin{cases} \tan^{- 1} ((b / a) / \tan θ) & (- π / 2 < θ < π / 2, θ \neq 0) \\ π / 2 & (θ = 0) \\ 0 & (θ = \pm π / 2) \end{cases} \end{array}$
また、その1で言及しなかったが、第2種完全楕円積分 $E (e)$ は四分楕円の弧長に対応している事を指摘しておく。
以下、場合分けして、 $[θ_{1}, θ_{2}]$ の範囲の弧長 $L$ を求める。
i) $0 \leq θ_{1} \leq θ_{2} \leq π / 2$ の時
その1と同一条件なので、明らかに、
$L = a (E (u_{2}, e) - E (u_{1}, e))$
$u_{1} = t h 2 u (θ_{2}), u_{2} = t h 2 u (θ_{1})$
である。
ii) $- π / 2 \leq θ_{1} < 0 \leq θ_{2} \leq π / 2$ の時
弧の範囲を $[θ_{1}, 0]$ と $[0, θ_{2}]$ に分けて考察する。
先に $[0, θ_{2}]$ の弧長 $L_{2}$ を求める。
$a E (r, e)$ は、点 $(0, b)$ から $u = r$ で与えられる点までの弧長であった。 $u_{1} = t h 2 u (θ_{2})$ と置くと、 $L_{2}$ は点 $(a, 0)$ から $u = u_{1}$ で与えられる点までの弧長なので、四分楕円の弧長から $a E (u_{1}, e)$ を差し引いて求められる。よって、
$L_{2} = a (E (e) - E (u_{1}, e))$
となる。
次に $[θ_{1}, 0]$ の弧長 $L_{1}$ だが、楕円は上下対称なので、 $u_{2} = t h 2 u (- θ_{1})$ と置くと、 $L_{2}$ と全く同様に扱える。よって、
$L_{1} = a (E (e) - E (u_{2}, e))$
となる。以上から、
$L = L_{1} + L_{2} = a (2 E (e) - E (u_{2}, e) - E (u_{1}, e))$
$u_{1} = t h 2 u (θ_{2}), u_{2} = t h 2 u (- θ_{1})$
が得られる。
iii) $- π / 2 \leq θ_{1} \leq θ_{2} < 0$ の時
楕円の上下対称性を考慮すると明らかに
$L = a (E (u_{2}, e) - E (u_{1}, e))$
$u_{1} = t h 2 u (- θ_{1}), u_{2} = t h 2 u (- θ_{2})$
となる。
$0 < a \leq b$ の時の弧長
離心率は、 $e = \sqrt{1 - (a / b)^{2}}$ である。
その1と同様に、媒介変数 $v$ を用いた第1の形式で楕円を表すが、楕円の右半分を動くものとする。
$x = a \cos v, y = b \sin v, - π / 2 \leq v \leq π / 2$
$θ$ の動く範囲は、2.と同様に $- π / 2 \leq θ \leq π / 2$ とする。
また、2.と同様に変換関数を導入する。
$t h 2 v (θ) = \begin{array}{r} {\begin{cases} \tan^{- 1} ((a / b) \tan θ) & (- π / 2 < θ < π / 2) \\ \pm π / 2 & (θ = \pm π / 2) \end{cases} \end{array}$
以下、場合分けして、 $[θ_{1}, θ_{2}]$ の範囲の弧長 $L$ を求める。
i) $0 \leq θ_{1} \leq θ_{2} \leq π / 2$ の時
その1と同一条件なので、明らかに、
$L = b (E (v_{2}, e) - E (v_{1}, e))$
$v_{1} = t h 2 v (θ_{1}), v_{2} = t h 2 v (θ_{2})$
である。
ii) $- π / 2 \leq θ_{1} < 0 \leq θ_{2} \leq π / 2$ の時
弧の範囲を $[θ_{1}, 0]$ と $[0, θ_{2}]$ に分けて考察する。
先に $[0, θ_{2}]$ の弧長 $L_{2}$ を求める。
$b E (r, e)$ は、点 $(a, 0)$ から $v = r$ で与えられる点までの弧長であったから $v_{2} = t h 2 v (θ_{2})$ と置くと、直ちに、
$L_{2} = b E (v_{2}, e)$
となる。
次に $[θ_{1}, 0]$ の弧長 $L_{1}$ だが、楕円は上下対称なので、 $v_{1} = t h 2 v (- θ_{1})$ と置くと、 $L_{2}$ と全く同様に扱える。よって、
$L_{1} = b E (v_{1}, e)$
となる。以上から、
$L = L_{1} + L_{2} = b (E (v_{1}, e) + E (v_{2}, e))$
$v_{1} = t h 2 v (- θ_{1}), v_{2} = t h 2 v (θ_{2})$
が得られる。
iii) $- π / 2 \leq θ_{1} \leq θ_{2} < 0$ の時
楕円の上下対称性を考慮すると明らかに
$L = b (E (v_{2}, e) - E (v_{1}, e))$
$v_{1} = t h 2 v (- θ_{2}), v_{2} = t h 2 v (- θ_{1})$
となる。
まとめ
楕円を
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
と表す時、 $θ = θ_{1}$ から $θ = θ_{2}$ までの弧長 $L$ は、第2種不完全楕円積分 $E (φ, k)$ と第2種完全楕円積分 $E (k)$ を用いて、次のように求められる。ただし、 $θ$ は動径と $x$ 軸との間の反時計方向の角度であり
$- π / 2 \leq θ_{1} \leq θ_{2} \leq π / 2$
とする。
A. $0 < b \leq a$ の場合
$e = \sqrt{1 - (b / a)^{2}}$
i) $0 \leq θ_{1} \leq θ_{2} \leq π / 2$
$L = a (E (u_{2}, e) - E (u_{1}, e))$
$u_{1} = t h 2 u (θ_{2}), u_{2} = t h 2 u (θ_{1})$
ii) $- π / 2 \leq θ_{1} < 0 \leq θ_{2} \leq π / 2$
$L = a (2 E (e) - E (u_{2}, e) - E (u_{1}, e))$
$u_{1} = t h 2 u (θ_{2}), u_{2} = t h 2 u (- θ_{1})$
iii) $- π / 2 \leq θ_{1} \leq θ_{2} < 0$
$L = a (E (u_{2}, e) - E (u_{1}, e))$
$u_{1} = t h 2 u (- θ_{1}), u_{2} = t h 2 u (- θ_{2})$
B. $0 < a \leq b$ の場合
$e = \sqrt{1 - (a / b)^{2}}$
i) $0 \leq θ_{1} \leq θ_{2} \leq π / 2$
$L = b (E (v_{2}, e) - E (v_{1}, e))$
$v_{1} = t h 2 v (θ_{1}), v_{2} = t h 2 v (θ_{2})$
ii) $- π / 2 \leq θ_{1} < 0 \leq θ_{2} \leq π / 2$
$L = b (E (v_{2}, e) + E (v_{1}, e))$
$v_{1} = t h 2 v (- θ_{1}), v_{2} = t h 2 v (θ_{2})$
iii) $- π / 2 \leq θ_{1} \leq θ_{2} < 0$
$L = b (E (v_{2}, e) - E (v_{1}, e))$
$v_{1} = t h 2 v (- θ_{2}), v_{2} = t h 2 v (- θ_{1})$
計算例
以下では、角度の単位を数値表の表示に合わせて、「度(°)」とする。
1) $a = 10, b = 6$ の楕円の、 $θ$ =45°の点から点 $(0, b)$ までの弧長を求める
ケースA)-i)に該当する。
$e = \sqrt{1 - (6 / 10)^{2}} = 0.8$
$u_{1}$ は計算するまでもなく0
$u_{2} = t h 2 u (45) = 30.96376$
$E (31, 0.8) = 0.52468$
よって、
$L = 10 E (31, 0.8) = 5.2468$
2) $a = 100, b = 125$ の楕円の、 $θ$ =15°の点から $θ$ =60°の点までの弧長を求める
ケースB)-i)に該当する。
$e = \sqrt{1 - (100 / 125)^{2}} = 0.6$
$v_{1} = t h 2 v (15) = 12.09879$
$v_{2} = t h 2 v (60) = 54.18247$
$E (12, 0.6) = 0.20889$
$E (54, 0.6) = 0.89872$
よって、
$L = 125 (E (54, 0.6) - E (12, 0.6)) = 86.2$
3)シドニー-東京間の子午線距離を求める
（任意の子午線上の、シドニーの緯度の点から、東京の緯度の点までの距離を求める例で、シドニー-東京間の距離を求めるのではない。念の為。）
ここでは、 $E (φ, k)$ を求めるのに、丸め誤差を防ぐため、専用ソフトを使う。
ネット上では、たとえば $k e!^{+} s a n$ が利用できる。
a = 6378.137km, b = 6356.752km
シドニー：南緯33.868333
　　東京：北緯35.689556
ケースA)-ii)に該当する。
$e = \sqrt{1 - (6356.752 / 6378.137)^{2}} = 0.08181979$
ここで、 $u_{1}, u_{2}$ を求めるのだが、上記緯度は、詳しくは地理緯度と呼ばれるもので、楕円上の点に立てた法線が赤道面となす角度になっている。（詳細は緯度を参照） $θ$ として使えるのは地球中心を通る地心緯度なので、先に地理緯度から地心緯度への変換が必要である。地理緯度を $θ^{'}$ 、地心緯度を $θ$ とすると、変換式は次のようになる。
$θ = \tan^{- 1} ((1 - e^{2}) \tan θ^{'})$
これから、地心緯度は
シドニー：南緯33.690478
　　東京：北緯35.507398
となる。
$u_{1} = t h 2 u (35.507398) = 54.401572$
$u_{2} = t h 2 u (33.690478) = 56.220652$
$E (u_{2}, e) = 0.9803661$
$E (u_{1}, e) = 0.9486891$
$E (e) = 1.5681641$
よって、
$L = a (2 E (e) - E (u_{2}, e) - E (u_{1}, e)) = 7700.15 (k m)$
この値は国土地理院の測地線に沿って2点間の距離を出してくれる測量計算サイトでの結果と完全に一致している。