1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)

はじめに

　タイトルの通りです。${\zeta }_n=\exp \left(2\pi i/n\right)$の値をいっぱい求めます。
　ここでは$|\arg (\sqrt[n]{x})|<\pi /n$となるように$\sqrt[n]{\cdot }$を定めます。

素因数が$2,3,5$のシリーズ($n\le 360$)

$$\begin{array}{rcl}{\zeta }_1& =& 1\\ {\zeta }_2& =& -1\\ {\zeta }_3& =& \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\ {\zeta }_4& =& i\\ {\zeta }_5& =& \frac{-1+\sqrt{5}}{4}+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i\\ {\zeta }_6& =& \frac{1+\sqrt{3}i}{2}\\ {\zeta }_8& =& \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2}\\ {\zeta }_9& =& \sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\\ {\zeta }_{10}& =& \frac{1+\sqrt{5}}{4}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i\\ {\zeta }_{12}& =& \frac{\sqrt{3}+i}{2}\\ {\zeta }_{15}& =& \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}i\\ {\zeta }_{16}& =& \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2}}i}{2}\\ {\zeta }_{18}& =& \sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\\ {\zeta }_{20}& =& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{5}-1}{4}i\\ {\zeta }_{24}& =& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i\\ {\zeta }_{25}& =& \sqrt[5]{\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i}\\ {\zeta }_{27}& =& \sqrt[9]{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\\ {\zeta }_{30}& =& \frac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}+\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}i\\ {\zeta }_{32}& =& \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}i}{2}\\ {\zeta }_{36}& =& \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}\\ {\zeta }_{40}& =& \frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}+\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}i\\ {\zeta }_{45}& =& \sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}i}\\ {\zeta }_{48}& =& \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{6+3\sqrt{2}}}{4}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}-\sqrt{6-3\sqrt{2}}}{4}i\\ {\zeta }_{50}& =& \sqrt[5]{\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i}\\ {\zeta }_{54}& =& \sqrt[9]{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\\ {\zeta }_{60}& =& \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}+\frac{-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}i\\ {\zeta }_{64}& =& \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}i}{2}\\ {\zeta }_{72}& =& \sqrt[3]{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i}\\ {\zeta }_{75}& =& \sqrt[5]{\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}i}\\ {\zeta }_{80}& =& \frac{-\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{10-5\sqrt{2}}+\sqrt{20+10\sqrt{2}+2\sqrt{5}+\sqrt{\phantom{(}10}}}{8}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}-\sqrt{10+5\sqrt{2}}+\sqrt{20-10\sqrt{2}+4\sqrt{5}-2\sqrt{\phantom{(}10}}}{8}i\\ {\zeta }_{81}& =& \sqrt[27]{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\\ {\zeta }_{90}& =& \sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}+\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}i}\\ {\zeta }_{96}& =& \frac{-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}+\sqrt{6+3\sqrt{2-\sqrt{2}}}}{4}+\frac{-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}+\sqrt{6-3\sqrt{2-\sqrt{2}}}}{4}i\\ {\zeta }_{100}& =& \sqrt[5]{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{5}-1}{4}i}\\ {\zeta }_{108}& =& \sqrt[9]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}\\ {\zeta }_{120}& =& \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{10}+\sqrt{30}+2\sqrt{5+\sqrt{5}}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}}{16}+\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{30}-2\sqrt{5+\sqrt{5}}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}}{16}i\\ {\zeta }_{125}& =& \sqrt[25]{\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i}\\ {\zeta }_{128}& =& \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}i}{2}\\ {\zeta }_{135}& =& \sqrt[9]{\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}i}\\ {\zeta }_{144}& =& \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{6+3\sqrt{2}}}{4}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}-\sqrt{6-3\sqrt{2}}}{4}i}\\ {\zeta }_{150}& =& \sqrt[5]{\frac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}+\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}i}\\ {\zeta }_{160}& =& \frac{\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}+\sqrt{10+5\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\sqrt{20-4\sqrt{5}-10\sqrt{2-\sqrt{2}}+2\sqrt{10-5\sqrt{2}}}}{8}+\frac{-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}-\sqrt{10+5\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\sqrt{20-4\sqrt{5}+10\sqrt{2-\sqrt{2}}-2\sqrt{10-5\sqrt{2}}}}{8}i\\ {\zeta }_{162}& =& \sqrt[27]{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\\ {\zeta }_{180}& =& \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{\phantom{(}15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}+\frac{-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}i}\\ {\zeta }_{192}& =& {\zeta }_{48}{\zeta }_{64}^{-1}=めんどい\\ {\zeta }_{200}& =& \sqrt[5]{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}+\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}i}\\ {\zeta }_{216}& =& \sqrt[9]{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i}\\ {\zeta }_{225}& =& \sqrt[15]{\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}i}\\ {\zeta }_{240}& =& \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{6-3\sqrt{2}}+\sqrt{10+5\sqrt{2}}+\sqrt{30-15\sqrt{2}}-\sqrt{20-10\sqrt{2}-4\sqrt{5}+2\sqrt{10}}+\sqrt{60+30\sqrt{2}-12\sqrt{5}-6\sqrt{10}}}{16}+\frac{-\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{6+3\sqrt{2}}-\sqrt{10-5\sqrt{2}}+\sqrt{30+15\sqrt{2}}-\sqrt{20+10\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{10}}-\sqrt{60-30\sqrt{2}-12\sqrt{5}+6\sqrt{10}}}{16}i\\ {\zeta }_{243}& =& \sqrt[81]{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\\ {\zeta }_{250}& =& \sqrt[25]{\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i}\\ {\zeta }_{256}& =& \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}i}{2}\\ {\zeta }_{270}& =& \sqrt[9]{\frac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{8}+\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}i}\\ {\zeta }_{288}& =& \sqrt[3]{\frac{-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}+\sqrt{6+3\sqrt{2-\sqrt{2}}}}{4}+\frac{-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}+\sqrt{6-3\sqrt{2-\sqrt{2}}}}{4}i}\\ {\zeta }_{300}& =& \sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}+\frac{-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}i}\\ {\zeta }_{320}& =& {\zeta }_{64}{\zeta }_{80}^{-1}=めんどい\\ {\zeta }_{324}& =& \sqrt[27]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}\\ {\zeta }_{360}& =& \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{10}+\sqrt{30}+2\sqrt{5+\sqrt{5}}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}}{16}+\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{30}-2\sqrt{5+\sqrt{5}}+2\sqrt{15+3\sqrt{5}}}{16}i}\end{array}$$

$n=p\ge 7$シリーズ

$$\begin{array}{rcl}\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)& =& \frac{1}{6}(-1+\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt{3}i}{2}})\\ \cos \left(\frac{2\pi }{11}\right)& =& \frac{1}{10}(-1+\sqrt[5]{\phantom{(}{\alpha }_{+,+}}+\sqrt[5]{\phantom{(}{\alpha }_{-,+}}+\sqrt[5]{\phantom{(}{\alpha }_{-,-}}+\sqrt[5]{\phantom{(}{\alpha }_{+,-}})\\ & & ({\alpha }_{\pm ,\pm }=-\frac{11}{4}\left(89\pm 25\sqrt{5}\pm 5\sqrt{410\mp 178\sqrt{5}}i\right))\\ \cos \left(\frac{2\pi }{13}\right)& =& \frac{\alpha +\sqrt{12-4\alpha -3{\alpha }^2}}{4}\\ & & (\alpha =-\frac{1}{3}(1+{\zeta }_3^{-1}\sqrt[3]{\frac{13}{2}(5+3\sqrt{3}i)}+{\zeta }_3\sqrt[3]{\frac{13}{2}(5-3\sqrt{3}i)}))\\ \cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)& =& \frac{1}{16}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}})\\ \cos \left(\frac{2\pi }{19}\right)& =& \frac{1}{6}(\alpha +\sqrt[3]{\frac{{\beta }_{+}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{{\beta }_{-}}{2}})\\ & & ({\beta }_{\pm }=113+3\alpha -20{\alpha }^2\pm 3\sqrt{-75+6\alpha +9{\alpha }^2}\\ & & \alpha =\frac{1}{3}(-1+{\zeta }_3^{-1}\sqrt[3]{\frac{19}{2}(7+3\sqrt{3}i)}+{\zeta }_3\sqrt[3]{\frac{19}{2}(7-3\sqrt{3}i)}))\\ \cos \left(\frac{2\pi }{23}\right)& =& \text{勘弁してください}\end{array}$$

解説

$n$が合成数のとき

　$n$の任意の真の約数$m$に対して${\zeta }_m$が求められているものとする。
　適当に$n=klm(gcd(l,m)=1)$と因数分解し、不定方程式
$$lx+my=1$$
の解を一つ求める。その解$x,y$に対して
$$\frac{1}{n}=\frac{lx+my}{klm}=\frac{x}{km}+\frac{y}{kl}$$
が成り立つので
$${\zeta }_n={\zeta }_{kl}^y{\zeta }_{km}^x$$
が得られる。

$n=2k,2\nmid k$のとき

$$\frac{1}{2k}=\frac{\frac{k+1}{2}}{k}-\frac{1}{2}$$
なので
$${\zeta }_{2k}=-{\zeta }_k^{\frac{k+1}{2}}$$
が得られる。

$n=km(m+1)$のとき

$$\frac{1}{n}=\frac{1}{km}-\frac{1}{k(m+1)}$$
なので
$${\zeta }_n={\zeta }_{km}{\zeta }_{k(m+1)}^{-1}$$
が得られる。
　特にこの記事を書く際には以下の部分分数分解をよく用いた。
$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{12}& =& \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\\ \frac{1}{20}& =& \frac{1}{4}-\frac{1}{5}\\ \frac{1}{30}& =& \frac{1}{5}-\frac{1}{6}\\ \frac{1}{240}& =& \frac{1}{15}-\frac{1}{16}\end{array}$$

$n=2^k$のとき

　半角の公式
$${\zeta }_{2m}=\sqrt{\frac{1+\cos \left(2\pi /m\right)}{2}}+\sqrt{\frac{1-\cos \left(2\pi /m\right)}{2}}i$$
を使うことで$k\ge 3$において
$${\zeta }_{2^k}=\frac{1}{2}(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}i)$$
が得られる。

$n=k{p}^2(p\ge 3)$のとき

　こればっかりはどうしようもありません。
$${\zeta }_n=\sqrt[p]{{\zeta }_{kp}}$$
以上の表現はないと思います。

$n=3,5,7$のとき

$n=3$のとき

　$x={\zeta }_3$は二次方程式
$$x^2+x+1=0$$
を満たすので、これを解くと
$${\zeta }_3=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$
が得られる。

$n=5$のとき

　$x={\zeta }_5$は四次方程式
$$x^4+x^3+x^2+x+1=0$$
を満たし、$y=x+x^{-1}$とおくと
$$x^2+x^{-2}=y^2-2$$
なので$y$は二次方程式
$$\begin{array}{rcl}0& =& x^{-2}(x^4+x^3+x^2+x+1)\\ & =& (x^2+x^{-2})+(x+x^{-1})+1\\ & =& y^2+y-1\end{array}$$
を満たす。よって
$${\zeta }_5+{\zeta }_5^{-1}=2\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$
が得られる。

$n=7$のとき

　$x={\zeta }_7$は四次方程式
$$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$$
を満たし、$y=x+x^{-1}$とおくと
$$\begin{array}{rl}{x}^3+x^{-3}& =y^3-3y\\ x^2+x^{-2}& =y^2-2\end{array}$$
と表せるので$y$は二次方程式
$$\begin{array}{rcl}0& =& x^{-3}(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)\\ & =& (x^3+x^{-3})+(x^2+x^{-2})+(x+x^{-1})+1\\ & =& y^3+y^2-2y-1\end{array}$$
を満たす。これを解いていくと
$$\begin{array}{rcl}(3y+1{)}^3-21(3y+1)-7& =& 0\\ z^2-7z+7^3& =& 0\\ z=u^3,v^3& =& \frac{7(1\pm 3\sqrt{3}i)}{2}\\ {\zeta }_7+{\zeta }_7^{-1}=2\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)& =& \frac{1}{3}(-1+u+v)\\ & =& \frac{1}{3}(-1+\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt{3}i}{2}})\end{array}$$
が得られる。

$n=11$のとき

求め方

　$2$は法$11$の原始根であることに注意して$\zeta ={\zeta }_7,\eta ={\zeta }_5$に対して
$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_0& =& \zeta +{\zeta }^{-1}\\ {\alpha }_1& =& {\zeta }^2+{\zeta }^{-2}\\ {\alpha }_2& =& {\zeta }^4+{\zeta }^{-4}\\ {\alpha }_3& =& {\zeta }^8+{\zeta }^{-8}={\zeta }^3+{\zeta }^{-3}\\ {\alpha }_4& =& {\zeta }^{16}+{\zeta }^{-16}={\zeta }^5+{\zeta }^{-5}\\ {\beta }_0& =& {\alpha }_0+{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4=-1\\ {\beta }_1& =& {\alpha }_0+{\alpha }_1\eta +{\alpha }_2{\eta }^2+{\alpha }_3{\eta }^3+{\alpha }_4{\eta }^4\\ {\beta }_2& =& {\alpha }_0+{\alpha }_1{\eta }^2+{\alpha }_2{\eta }^4+{\alpha }_3{\eta }^6+{\alpha }_4{\eta }^8={\alpha }_0+{\alpha }_1{\eta }^2+{\alpha }_2{\eta }^4+{\alpha }_3\eta +{\alpha }_4{\eta }^3\\ {\beta }_3& =& {\alpha }_0+{\alpha }_1{\eta }^3+{\alpha }_2{\eta }^6+{\alpha }_3{\eta }^9+{\alpha }_4{\eta }^{12}={\alpha }_0+{\alpha }_1{\eta }^3+{\alpha }_2\eta +{\alpha }_3{\eta }^4+{\alpha }_4{\eta }^2\\ {\beta }_4& =& {\alpha }_0+{\alpha }_1{\eta }^4+{\alpha }_2{\eta }^8+{\alpha }_3{\eta }^{12}+{\alpha }_4{\eta }^{16}={\alpha }_0+{\alpha }_1{\eta }^4+{\alpha }_2{\eta }^3+{\alpha }_3{\eta }^2+{\alpha }_4\eta \end{array}$$
とおけば${\beta }_1^5,{\beta }_2^5,{\beta }_3^5,{\beta }_4^5\in \mathbb{Q}({\zeta }_5)$となることが知られており、
$${\alpha }_0=2\cos \left(\frac{2\pi }{11}\right)=\frac{{\beta }_0+{\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3+{\beta }_4}{5}$$
と計算できる。

実際の計算

　ここで
$${\beta }_1^2={\gamma }_0+{\gamma }_1\eta +{\gamma }_2{\eta }^2+{\gamma }_3{\eta }^3+{\gamma }_4{\eta }^4({\gamma }_k\in \mathbb{Q}(\zeta ))$$
とおくと
$$\begin{array}{rcl}{\gamma }_0& =& {\alpha }_0^2+2{\alpha }_1{\alpha }_4+2{\alpha }_2{\alpha }_3\\ & =& ({\alpha }_1+2)+2({\alpha }_2+{\alpha }_3)+2({\alpha }_0+{\alpha }_2)\\ & =& 2{\alpha }_0+{\alpha }_1+4{\alpha }_2+2{\alpha }_3+0{\alpha }_4+2\end{array}$$
と計算でき、$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta ,\eta )/\mathbb{Q}(\eta ))$の生成元$\sigma :\zeta \mapsto {\zeta }^2$に対して
$$\sigma (\frac{{\beta }_1^2}{{\beta }_2})=\frac{({\eta }^{-1}{\beta }_1{)}^2}{{\eta }^{-2}{\beta }_2}=\frac{{\beta }_1^2}{{\beta }_2}\in \mathbb{Q}(\eta )$$
および
$$\begin{array}{rl}{\alpha }_0& ={\sigma }^4({\alpha }_1)={\sigma }^3({\alpha }_2)={\sigma }^2({\alpha }_3)=\sigma ({\alpha }_4)\\ {\beta }_1^2& ={\gamma }_0+{\sigma }^3({\gamma }_0)\eta +\sigma ({\gamma }_0){\eta }^2+{\sigma }^4({\gamma }_0){\eta }^3+{\sigma }^2({\gamma }_0){\eta }^4(\because \sigma ({\beta }_1^2)={\eta }^{-2}{\beta }_1)\end{array}$$
となることに注意して${\beta }_1^2$における${\alpha }_0$の係数を考えると
$$\begin{array}{rl}{\beta }_1^2& =(2+{\eta }^3+4\eta +2{\eta }^4+0{\eta }^2){\beta }_2\\ & =(2\eta -2{\eta }^2-{\eta }^3){\beta }_2\end{array}$$
と計算できる。
　同様にして
$$\begin{array}{rl}{\beta }_1{\beta }_2& =(2+\eta +4{\eta }^2+2{\eta }^3){\beta }_3\\ {\beta }_1{\beta }_3& =(2\eta -2{\eta }^2-{\eta }^3){\beta }_4\\ {\beta }_1{\beta }_4& =10+({\alpha }_0+{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4)(1+\eta +{\eta }^2+{\eta }^3+{\eta }^4)\\ & =10+(-1)\cdot (-1)=11\end{array}$$
と計算できるので
$$\begin{array}{rcl}{\beta }_1^5& =& 11(2\eta -2{\eta }^2-{\eta }^3)(2+\eta +4{\eta }^2+2{\eta }^3)(2\eta -2{\eta }^2-{\eta }^3)\\ & =& -11(26+20\eta -15{\eta }^2+10{\eta }^3)\\ & =& -11(26+\frac{20}{4}(\sqrt{5}-1+\sqrt{10+2\sqrt{5}}i)-\frac{15}{4}(-\sqrt{5}-1+\sqrt{10-2\sqrt{5}}i)+\frac{10}{4}(-\sqrt{5}-1-\sqrt{10-2\sqrt{5}}i))\\ & =& -\frac{11}{4}(89+25\sqrt{5}+(20\sqrt{10+2\sqrt{5}}-25\sqrt{10-2\sqrt{5}})i)\end{array}$$
が成り立つ。また
$$\begin{array}{rl}{(4\sqrt{10+2\sqrt{5}}-5\sqrt{10-2\sqrt{5}})}^2& =16(10+2\sqrt{5})+25(10-2\sqrt{5})-40\cdot 4\sqrt{5}\\ & =410-178\sqrt{5}\end{array}$$
なので結局
$${\beta }_1=-\frac{11}{4}(89+25\sqrt{5}+5\sqrt{410-178\sqrt{5}}i)$$
となる。また、これの共役を考えることで
$$\begin{array}{rcl}{\beta }_2& =& -\frac{11}{4}(89-25\sqrt{5}+5\sqrt{410+178\sqrt{5}}i)\\ {\beta }_3& =& -\frac{11}{4}(89-25\sqrt{5}-5\sqrt{410+178\sqrt{5}}i)\\ {\beta }_4& =& -\frac{11}{4}(89+25\sqrt{5}-5\sqrt{410-178\sqrt{5}}i)\end{array}$$
もわかるので
$$\begin{array}{rcl}\cos \left(\frac{2\pi }{11}\right)& =& \frac{{\beta }_0+{\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3+{\beta }_4}{10}\\ & =& \frac{1}{10}(-1+\sqrt[5]{\phantom{(}{\alpha }_{+,+}}+\sqrt[5]{\phantom{(}{\alpha }_{-,+}}+\sqrt[5]{\phantom{(}{\alpha }_{-,-}}+\sqrt[5]{\phantom{(}{\alpha }_{+,-}})\\ & & ({\alpha }_{\pm ,\pm }=-\frac{11}{4}\left(89\pm 25\sqrt{5}\pm 5\sqrt{410\mp 178\sqrt{5}}i\right))\end{array}$$
が得られる。

$n=13$のとき

求め方

　$2$は法$13$の原始根であることに注意して$\zeta ={\zeta }_{13}$に対して
$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_1& =& \zeta +{\zeta }^{-1}+{\zeta }^8+{\zeta }^{-8}=\zeta +{\zeta }^{-1}+{\zeta }^5+{\zeta }^{-5}\\ {\alpha }_2& =& {\zeta }^2+{\zeta }^{-2}+{\zeta }^{16}+{\zeta }^{-16}={\zeta }^2+{\zeta }^{-2}+{\zeta }^3+{\zeta }^{-3}\\ {\alpha }_3& =& {\zeta }^4+{\zeta }^{-4}+{\zeta }^{32}+{\zeta }^{-32}={\zeta }^4+{\zeta }^{-4}+{\zeta }^6+{\zeta }^{-6}\end{array}$$
とおくと${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$は何らかの三次方程式を満たし、
$${\beta }_1=\zeta +{\zeta }^{-1},{\beta }_2={\zeta }^5+{\zeta }^{-5}$$
とおくと
$${\beta }_1+{\beta }_2={\alpha }_1,{\beta }_1{\beta }_2={\zeta }^4+{\zeta }^{-4}+{\zeta }^6+{\zeta }^{-6}={\alpha }_3$$
つまり${\beta }_1,{\beta }_2$は二次方程式
$$x^2-{\alpha }_{1}x+{\alpha }_3=0$$
の解となるので
$${\beta }_1=2\cos \left(\frac{2\pi }{13}\right)=\frac{{\alpha }_1+\sqrt{{\alpha }_1^2-4{\alpha }_3}}{2}$$
と計算できる。

実際の計算

$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_1^2& =& 4+{\alpha }_2+2{\alpha }_3=2-2{\alpha }_1-{\alpha }_2\\ {\alpha }_1{\alpha }_2& =& {\alpha }_1+2{\alpha }_2+{\alpha }_1={\alpha }_2-1=1-2{\alpha }_1-{\alpha }_1^2\\ {\alpha }_1^3& =& 2{\alpha }_1-2{\alpha }_1^2-(1-2{\alpha }_1-{\alpha }_1^2)=-{\alpha }_1^2+4{\alpha }_1-1\end{array}$$
と変形できるので${\alpha }_1$は三次方程式
$$x^3+x^2-4x+1=0$$
を満たすことがわかる。これを解いていくと
$$\begin{array}{rcl}(3x+1{)}^3-39(3x+1)+65& =& 0\\ y^2+65y+{13}^3& =& 0\\ y=u^3,v^3& =& \frac{13(-5\pm 3\sqrt{3}i)}{2}\\ {\alpha }_1=\frac{1}{3}(-1+u+v)& =& -\frac{1}{3}(1+{\zeta }_3^{-1}\sqrt[3]{\frac{13}{2}(5+3\sqrt{3}i)}+{\zeta }_3\sqrt[3]{\frac{13}{2}(5-3\sqrt{3}i)})\end{array}$$
と計算できる。また
$${\alpha }_1^2=4+{\alpha }_2+2{\alpha }_3=3-{\alpha }_1+{\alpha }_3$$
より
$${\alpha }_3={\alpha }_1^2+{\alpha }_1-3$$
がわかるので
$$\begin{array}{rcl}\cos \left(\frac{2\pi }{13}\right)& =& \frac{{\alpha }_1+\sqrt{{\alpha }_1^2-4{\alpha }_3}}{4}\\ & =& \frac{{\alpha }_1+\sqrt{{\alpha }_1^2-4({\alpha }_1^2+{\alpha }_1-3)}}{4}\\ & =& \frac{{\alpha }_1+\sqrt{12-4{\alpha }_1-3{\alpha }_1^2}}{4}\end{array}$$
が得られる。

三乗根の取り方について

　三乗根の偏角の取り方については
$${\gamma }_k={\zeta }_3^k\sqrt[3]{\frac{13}{2}(5+3\sqrt{3}i)}+{\zeta }_3^{-k}\sqrt[3]{\frac{13}{2}(5-3\sqrt{3}i)}(k=0,1,2)$$
とおいたとき
$${\gamma }_1<{\gamma }_2<{\gamma }_0$$
となることが(図を描くなどして)簡単にわかり、また
$${\alpha }_3<{\alpha }_1<{\alpha }_2$$
もそれとなくわかる(と思う)ので
$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_1& =& -\frac{1}{3}(1+{\gamma }_2)\\ {\alpha }_2& =& -\frac{1}{3}(1+{\gamma }_1)\\ {\alpha }_3& =& -\frac{1}{3}(1+{\gamma }_0)\end{array}$$
のように対応するとわかる。

$n=17$のとき

　$3$は法$17$の原始根となることに注意して$\zeta ={\zeta }_{17}$に対して
$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_1& =& \zeta +{\zeta }^{-1}+{\zeta }^8+{\zeta }^{-8}+{\zeta }^4+{\zeta }^{-4}+{\zeta }^2+{\zeta }^{-2}\\ {\alpha }_2& =& {\zeta }^3+{\zeta }^{-3}+{\zeta }^7+{\zeta }^{-7}+{\zeta }^5+{\zeta }^{-5}+{\zeta }^6+{\zeta }^{-6}\\ {\beta }_1& =& \zeta +{\zeta }^{-1}+{\zeta }^4+{\zeta }^{-4}\\ {\beta }_2& =& {\zeta }^3+{\zeta }^{-3}+{\zeta }^5+{\zeta }^{-5}\\ \gamma & =& \zeta +{\zeta }^{-1}\end{array}$$
とおくと、これらは二次方程式
$$\begin{array}{rcl}x={\alpha }_1,{\alpha }_2& \to & x^2+x-4=0\\ x={\beta }_1& \to & x^2-{\alpha }_{1}x-1=0\\ x={\beta }_2& \to & x^2-{\alpha }_{2}x-1=0\\ x=\gamma & \to & x^2-{\beta }_{1}x+{\beta }_2=0\end{array}$$
を満たす。これを解くと
$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_1& =& \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\ {\alpha }_2& =& \frac{-1-\sqrt{17}}{2}\\ {\beta }_1& =& \frac{{\alpha }_1+\sqrt{{\alpha }_1^2+4}}{2}\\ & =& \frac{-1+\sqrt{17}}{4}+\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}\\ {\beta }_2& =& \frac{-1-\sqrt{17}}{4}+\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}\\ \gamma =2\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)& =& \frac{{\beta }_1+\sqrt{{\beta }_1^2-4{\beta }_2}}{2}\\ & =& \frac{-1+\sqrt{17}}{8}+\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8}+\frac{\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{4}\end{array}$$
が得られる。

${\beta }_1^4-4{\beta }_2$の計算について

$$\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{\sqrt{34-2\sqrt{17}}}=\frac{34+2\sqrt{17}}{\sqrt{{34}^2-4\cdot 17}}=\frac{34+2\sqrt{17}}{8\sqrt{17}}=\frac{1+\sqrt{17}}{4}$$
に注意すると
$$\begin{array}{rcl}4({\beta }_1^2-4{\beta }_2)& =& 4({\alpha }_1{\beta }_1+1+4{\beta }_2)\\ & =& (9-\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\frac{1+\sqrt{17}}{2}\sqrt{34-2\sqrt{17}})+4-4(-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}})\\ & =& 17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}\end{array}$$
と計算できる。

$n=19$のとき

求め方

　$2$は法$19$の原始根となることに注意して$\zeta ={\zeta }_{19}$に対して
$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_1& =& \zeta +{\zeta }^{-1}+{\zeta }^8+{\zeta }^{-8}+{\zeta }^7+{\zeta }^{-7}\\ {\alpha }_2& =& {\zeta }^2+{\zeta }^{-2}+{\zeta }^3+{\zeta }^{-3}+{\zeta }^5+{\zeta }^{-5}\\ {\alpha }_3& =& {\zeta }^4+{\zeta }^{-4}+{\zeta }^6+{\zeta }^{-6}+{\zeta }^9+{\zeta }^{-9}\\ {\beta }_1& =& \zeta +{\zeta }^{-1}\\ {\beta }_2& =& {\zeta }^8+{\zeta }^{-8}\\ {\beta }_3& =& {\zeta }^7+{\zeta }^{-7}\end{array}$$
とおくと${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$は何らかの三次方程式を満たし、また${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$も何らかの$\mathbb{Q}({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$係数の三次方程式を満たすので頑張れば
$${\beta }_1=2\cos \left(\frac{2\pi }{19}\right)$$
が計算できる。

実際の計算

$$\begin{array}{rcl}{\alpha }_1^2& =& 6+2{\alpha }_1+{\alpha }_2+2{\alpha }_3=4-{\alpha }_2\\ {\alpha }_1{\alpha }_2& =& {\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_2=-3-2{\alpha }_1-{\alpha }_2\\ {\alpha }_1^3& =& 4{\alpha }_1+(3+2{\alpha }_1+(4-{\alpha }_1^2))=-{\alpha }_1^2+6{\alpha }_1+7\end{array}$$
と変形できるので${\alpha }_1$は三次方程式
$$x^3+x^2-6x-7=0$$
を満たすことがわかる。これを解いていくと
$$\begin{array}{rcl}(3x+1{)}^3-57(3x+1)-133& =& 0\\ y^2-133y+{19}^3& =& 0\\ y=u^3,v^3& =& \frac{19(7\pm 3\sqrt{3}i)}{2}\\ {\alpha }_1=\frac{1}{3}(-1+u+v)& =& \frac{1}{3}(-1+{\zeta }_3^{-1}\sqrt[3]{\frac{19}{2}(7+3\sqrt{3}i)}+{\zeta }_3\sqrt[3]{\frac{19}{2}(7-3\sqrt{3}i)})\end{array}$$
と計算できる。また
$$\begin{array}{rcl}{\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3& =& {\alpha }_1\\ {\beta }_1{\beta }_2+{\beta }_2{\beta }_3+{\beta }_3{\beta }_1& =& {\alpha }_1+{\alpha }_3=-1-{\alpha }_2\\ {\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3& =& 2+{\alpha }_2\end{array}$$
と変形できるので${\beta }_1$は三次方程式
$$x^3-{\alpha }_1{x}^2-(1+{\alpha }_2)x-(2+{\alpha }_2)=0$$
を満たすことがわかる。これを${\alpha }_1,{\alpha }_2$についての関係式を使いながら解いていくと
$$\begin{array}{rcl}0& =& (3x-{\alpha }_1{)}^3-3(7+2{\alpha }_2)(3x-{\alpha }_1)-(33+3{\alpha }_1+20{\alpha }_2)\\ 0& =& y^2-(33+3{\alpha }_1+20{\alpha }_2)y+(7+2{\alpha }_2{)}^3\\ y=u^3,v^3& =& \frac{33+3{\alpha }_1+20{\alpha }_2\pm \sqrt{(33+3{\alpha }_1+20{\alpha }_2{)}^2-4(7+2{\alpha }_2{)}^3}}{2}\\ & =& \frac{113+3{\alpha }_1-20{\alpha }_1^2\pm 3\sqrt{-75+6{\alpha }_1+9{\alpha }_1^2}}{2}\\ {\beta }_1=2\cos \left(\frac{2\pi }{19}\right)& =& \frac{1}{3}({\alpha }_1+u+v)\\ & =& \frac{1}{3}(\alpha +\sqrt[3]{\frac{{\beta }_{+}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{{\beta }_{-}}{2}})\\ & & ({\beta }_{\pm }=113+3\alpha -20{\alpha }^2\pm 3\sqrt{-75+6\alpha +9{\alpha }^2}\\ & & \alpha =\frac{1}{3}(-1+{\zeta }_3^{-1}\sqrt[3]{\frac{19}{2}(7+3\sqrt{3}i)}+{\zeta }_3\sqrt[3]{\frac{19}{2}(7-3\sqrt{3}i)}))\end{array}$$
が得られる。