円の面積がπr^2であることの証明

半径$r$の円$x^2+y^2=r^2$は$y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$と式変形でき,
また$x$軸との共有点の$x$座標は$\pm r$となるので
面積は$2{\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx$となる.
$x=r\sin \theta (-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2})$とするとき,$x^{\prime }=r\cos \theta$となるので
$$2{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{r^2-r^2{\sin }^2\theta }\cdot (r\cos \theta )d\theta =2r^2{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta d\theta$$
$$=2r^2{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{1+\cos \theta }{2}}d\theta =r^2{[\theta +{\displaystyle \frac{\sin \theta }{2}}]}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=\pi r^2◼$$

円の中心を$O$,正$n$角形の任意の隣り合う点を$A,B$とする.
また$A$から$OB$に下ろした垂線の足を$H$とする.
$OA=r,\mathrm{\angle }AOH={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$より$AH=r\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$
$OB=r$なので$\mathrm{△}OAB=r\cdot r\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}={\displaystyle \frac{r^2}{2}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$
よって正$n$角形の面積は$n\cdot \mathrm{△}OAB={\displaystyle \frac{n{r}^2}{2}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}◼$

${\displaystyle \frac{n}{2}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}={\displaystyle \frac{n}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}\cdot {\displaystyle \frac{\sin \frac{2\pi }{n}}{\frac{2\pi }{n}}}=\pi {\displaystyle \frac{\sin \frac{2\pi }{n}}{\frac{2\pi }{n}}}$であり,
$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$として$-1\le \sin \theta \le 1$より$-{\displaystyle \frac{1}{\theta }}\le {\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}\le {\displaystyle \frac{1}{\theta }}$,
また$\underset{\theta \to 0}{lim}(-{\displaystyle \frac{1}{\theta }})=\underset{\theta \to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\theta }}=1$なので
はさみうちの原理より$\underset{\theta \to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}=1$であるから
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n}{2}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}=\pi \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sin \frac{2\pi }{n}}{\frac{2\pi }{n}}}=\pi ◼$$

補題2と公理より半径$r$の円の面積は
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n{r}^2}{2}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$となる.
また補題3より面積は
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n{r}^2}{2}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}=r^2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n}{2}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}=\pi r^2◼$$