極限・積分の問題

$\mathrm{\Gamma }$関数の性質$\mathrm{\Gamma }(1+x)=x\mathrm{\Gamma }(x)(x\ne 0)$より、
$$(2^x-1)\mathrm{\Gamma }(x)=\frac{1}{x}(2^x-1)\mathrm{\Gamma }(1+x)$$
となる。ここで、微分係数の定義
$$f^{\prime }(x)=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
と$\mathrm{\Gamma }(1)=1$に注意すると、
$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{lim}(2^x-1)\mathrm{\Gamma }(x)\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}(2^x-1)\mathrm{\Gamma }(1+x)\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2^x-2^0}{x-0}\mathrm{\Gamma }(1+x)\\ & =(2^x{)}^{\prime }{|}_{x=0}\\ & =\log 2\end{array}$$
よって、${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(2^x-1)\mathrm{\Gamma }(x)=\log 2}$となる。

双曲線関数の定義より、$\sinh x={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$であるから、
$$\begin{array}{rl}& \frac{1-e^{-x}}{2\sinh x}\\ & =\frac{1-e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^x-1}{e^{2x}-1}=\frac{e^x-1}{e^{2x}-1}\\ & =\frac{e^x-1}{(e^x-1)(e^x+1)}=\frac{1}{e^x+1}\\ & =\frac{e^x+1-e^x}{e^x+1}=1-\frac{e^x}{e^x+1}=1-\frac{(e^x+1{)}^{\prime }}{e^x+1}\end{array}$$
となる。よって
$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\log 2}\frac{1-e^{-x}}{\sinh x}dx\\ & =2{\int }_0^{\log 2}(1-\frac{e^x}{e^x+1})dx\\ & =2{[x-\log |e^x+1|]}_0^{\log 2}\\ & =2(\log 2-\log |e^{\log 2}+1|-0+\log |e^0+1|)\\ & =2\log \frac{4}{3}\end{array}$$

よって、${\displaystyle {\int }_0^{\log 2}\frac{1-e^{-x}}{\sinh x}dx=2\log \frac{4}{3}}$となる。