極限・積分の問題

$\Gamma$関数の性質$\Gamma(1+x)=x\Gamma(x)\enspace (x\ne 0)$より、
$$(2^x -1)\Gamma(x)=\frac{1}{x}(2^x -1)\Gamma(1+x)$$
となる。ここで、微分係数の定義
$$f'(x)=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
と$\Gamma(1)=1$に注意すると、
\begin{align*}& \lim_{x \to 0} (2^x-1)\Gamma(x)\\&=\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}(2^x -1)\Gamma(1+x)\\&=\lim_{x\to 0} \frac{2^x -2^0}{x-0} \Gamma(1+x)\\&=(2^x)'|_{x=0}\\&=\log 2 \end{align*}
よって、$\displaystyle{\lim_{x \to 0} (2^x-1)\Gamma(x)}=\log2$となる。

双曲線関数の定義より、$\sinh x=\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}$であるから、
\begin{align*}& \frac{1-e^{-x}}{2\sinh x}\\&=\frac{1-e^{-x}}{e^x -e^{-x}}=\frac{e^x-1}{e^{2x}-1}=\frac{e^x-1}{e^{2x}-1}\\&=\frac{e^x-1}{(e^x-1)(e^x+1)}=\frac{1}{e^x+1}\\&=\frac{e^x+1-e^x}{e^x+1}=1-\frac{e^x}{e^x+1}=1-\frac{(e^x+1)'}{e^x+1} \end{align*}
となる。よって
\begin{align*}& \int_0^{\log 2} \frac{1-e^{-x}}{\sinh x} dx\\ &= 2\int_0^{\log 2} \left(1-\frac{e^x}{e^x+1} \right)dx\\& =2\left[x-\log |e^x+1| \right]_0^{\log 2}\\& =2(\log 2-\log |e^{\log 2}+1|-0+\log |e^0+1|)\\& =2\log \frac{4}{3} \end{align*}

よって、$\displaystyle{\int_0^{\log 2} \frac{1-e^{-x}}{\sinh x} dx=2\log \frac{4}{3}}$となる。