積分の問題

双曲線関数の定義より,$\sinh x=\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}$であるから,
\begin{align*} \frac{1-e^{-x}}{\sinh x}&=\frac{1-e^{-x}}{e^x -e^{-x}}=\frac{e^x-1}{e^{2x}-1}=\frac{e^x-1}{e^{2x}-1}\\&=\frac{e^x-1}{(e^x-1)(e^x+1)}=\frac{1}{e^x+1}\\&=\frac{e^x+1-e^x}{e^x+1}=1-\frac{e^x}{e^x+1}=\frac{(e^x+1)'}{e^x+1}. \end{align*}
したがって,
\begin{align*} \int_0^{\log 2} \frac{1-e^{-x}}{\sinh x} dx &= 2\int_0^{\log 2} \left(1-\frac{e^x}{e^x+1} \right)dx\\& =2\left[x-\log |e^x+1| \right]_0^{\log 2}\\& =2(\log 2-\log |e^{\log 2}+1|-0+\log |e^0+1|)\\& =2\log \frac{4}{3}. \end{align*}