Mellin変換

Mellin変換,積分変換

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こんにちは、微小です。
今回は、Mellin変換や積分変換について紹介しようと思います。

Mellin変換とは

定義を見ていきます。

Mellin変換

ある区間 $I \subset R$ で積分可能な関数 $f : I \to R, t \mapsto f (t)$ について、以下の式による関数変換をMellin変換(Mellin transform)という:
$M [f (t)] (s) : = \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} f (t) d t$

Mellin変換は、ある関数 $f$ に対し、 $s$ に関する関数 $M f$ を返す"関数"となっています。作用素といったりします。Mellin変換の標語として、次のように説明されることがあります。

Mellin変換は両側Laplace変換の乗法版とみなせる。

両側Laplace変換という新しい言葉が出てきました。
次はLaplace変換、両側Laplace変換について見ていきましょう。

Laplace変換

$t > 0$ で定義された関数 $f : R_{> 0} \to R, t \mapsto f (t)$ について、以下の式による関数変換をLaplace変換(Laplace transform)という。
$F (s) = L [f (t)] (s) : = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f (t) d t$
ここで変換される関数を原関数(original function)、変換された関数 $F (s)$ を像関数(image function)という。

Laplace変換の利点を簡単に説明します。Laplace変換を使うと「微分方程式」を積分を使わずに解くことができます。
まずは必要な原関数を、Laplace変換を用いてその像関数を求めます。

次を示せ。

原関数 $f (t)$	像関数 $F (s)$
$f (t)$	$F (s)$
$f^{'} (t)$	$s F (s) - f (0)$
$e^{α t} h (t)$	$\frac{1}{s - α} (s > α)$

ただし、 $h (t)$ はHeaviside関数
$\begin{array}{r} h (t) : = {\begin{cases} 1 (x > 0); \\ 1 / 2 (x = 0); \\ 0 (x < 0) . \end{cases} \end{array}$

(1)定義そのものであるから明らか。

(2)部分積分より、 $\begin{aligned} L [f^{'} (t)] (s) \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f^{'} (t) d t \\ = [e^{- s t} f (t)]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (- s) e^{- s t} f (t) d t \\ = - f (0) + s \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f (t) d t \\ = s F (s) - f (0) \end{aligned}$

(3) $\begin{aligned} L [e^{α t} h (t)] (s) \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} e^{α t} h (t) d t \\ = \int_{0}^{\infty} e^{(α - s) t} d t \\ = {[\frac{1}{α - s} e^{(α - s) t}]}_{0}^{\infty} \\ = \frac{1}{s - α} \end{aligned}$

これらを使って簡単な微分方程式を解いてみましょう。

微分方程式 $f^{'} (x) = f (x)$ を初期条件 $f (0) = 2$ の下で解け。

Laplace変換より、
$\begin{aligned} f^{'} (x) = f (x) \\ \Leftrightarrow s F (s) - f (0) = F (s) \\ \Leftrightarrow (s - 1) F (s) = 2 \\ \Leftrightarrow F (s) = \frac{2}{s - 1} \\ \Leftrightarrow f (x) = 2 e^{x} \end{aligned}$

積分を使うことなく、代数方程式を解く要領で微分方程式が解けました。これがLaplace変換の力です。

両側Laplace変換

関数 $f : R \to R, t \mapsto f (t)$ について、以下の式による関数変換を両側Laplace変換(two-sided Laplace transform)という。
$B [f (t)] (s) : = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- s t} f (t) d t$

その名の通り、Laplace変換の積分区間を負の無限大まで拡大したものです。そして次の公式が得られます。

$B [f (t)] (s) = L [f (t)] (s) + L [f (- t)] (- s)$

$\begin{aligned} B [f (t)] (s) \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- s t} f (t) d t \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f (t) d t + \int_{- \infty}^{0} e^{- s t} f (t) d t \\ = L [f (t)] (s) + \int_{\infty}^{0} e^{- s (- t)} f (t) (- d t) (t \mapsto - t) \\ = L [f (t)] (s) + \int_{0}^{\infty} e^{- (- s) t} f (t) d t \\ = L [f (t)] (s) + L [f (- t)] (- s) \end{aligned}$

Mellin変換とLaplace変換

さて、例の標語について考えていきましょう。
Mellin変換と両側Laplace変換の関係性を示せればOKです。

$M [f (t)] (s) = B [f (e^{- t})] (s)$

$B [f (e^{- t})] (s)$
$= \int_{- \infty}^{\infty} e^{- s t} f (e^{- t}) d t$
$= \int_{\infty}^{0} t^{s} f (t) (- \frac{1}{t}) d t (e^{- t} \mapsto t)$
$= \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} f (t) d t$
$= M [f (t)] (s)$

これがMellin変換が両側Laplace変換の乗法版と言われる所以でしょう。

最後にこれらの一般論を述べておきましょう。

一般論：積分変換

以下の作用素 $T : f \mapsto T f$ を積分変換(integral transform)という。
$a, b \in [- \infty, \infty]$ と2変数関数 $K (s, t)$ に対し、
$T [f (t)] (s) : = \int_{a}^{b} K (s, t) f (t) d t .$
ここで、二変数関数 $K (s, t)$ を、積分変換 $T$ の核関数(kernel function)という。
$K (s, t) = K (t, s)$ を満たす核関数を対称核関数(symmetric kernel function)という。