Mellin変換
こんにちは、まぷすとです。
今回は、Mellin変換や積分変換について紹介しようと思います。
Mellin変換とは
定義を見ていきます。
ある区間$I \subset \mathbb{R}$で積分可能な関数$f:I \rightarrow\mathbb{R}, t \mapsto f(t)$について、以下の式による関数変換をMellin変換(Mellin transform)という:
$$\mathcal{M}[f(t)](s)\coloneqq\int_0^{\infty} t^{s-1}f(t)dt$$
Mellin変換は、ある関数$f$に対し、$s$に関する関数$\mathcal{M}f$を返す"関数"となっています。作用素といったりします。Mellin変換の標語として、次のように説明されることがあります。
Mellin変換は両側Laplace変換の乗法版とみなせる。
両側Laplace変換という新しい言葉が出てきました。
次はLaplace変換、両側Laplace変換について見ていきましょう。
Laplace変換
$t>0$で定義された関数$f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow\mathbb{R}, t \mapsto f(t)$について、以下の式による関数変換をLaplace変換(Laplace transform)という。
$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)](s)\coloneqq\int_0^{\infty} e^{-st}f(t)dt$$
ここで変換される関数を原関数(original function)、変換された関数$F(s)$を像関数(image function)という。
Laplace変換の利点を簡単に説明します。Laplace変換を使うと「微分方程式」を積分を使わずに解くことができます。
まずは必要な原関数を、Laplace変換を用いてその像関数を求めます。
次を示せ。
| 原関数$f(t)$ | 像関数$F(s)$ |
|---|---|
| $f(t)$ | $F(s)$ |
| $f’(t)$ | $sF(s)-f(0)$ |
| $e^{\alpha t}h(t)$ | $\displaystyle{\frac{1}{s-\alpha}}\enspace (s>\alpha)$ |
ただし、$h(t)$はHeaviside関数
$$\begin{eqnarray}
h(t)\coloneqq\left\{
\begin{array}{l}
1 \quad (x>0);\\
1/2 \quad (x=0);\\
0 \quad (x<0).\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
(1)定義そのものであるから明らか。
(2)部分積分より、\begin{align*}& \mathcal{L}[f'(t)](s)\\& =\int_0^{\infty} e^{-st}f'(t)dt\\& =[e^{-st}f(t)]_0^{\infty}-\int_0^{\infty} (-s)e^{-st}f(t)dt\\& =-f(0)+s\int_0^{\infty} e^{-st}f(t)dt\\& =sF(s)-f(0) \end{align*}
(3)\begin{align*}& \mathcal{L}[e^{\alpha t}h(t)](s)\\& =\int_0^{\infty} e^{-st}e^{\alpha t}h(t)dt\\& =\int_0^{\infty} e^{(\alpha -s)t}dt\\& =\left[\frac{1}{\alpha -s}e^{(\alpha -s)t}\right]_0^{\infty}\\& =\frac{1}{s-\alpha} \end{align*}
これらを使って簡単な微分方程式を解いてみましょう。
微分方程式$f’(x)=f(x)$を初期条件$f(0)=2$の下で解け。
Laplace変換より、
\begin{align*}&
f’(x)=f(x) \\&\Leftrightarrow sF(s)-f(0)=F(s)\\&
\Leftrightarrow (s-1)F(s)=2\\&
\Leftrightarrow F(s)=\frac{2}{s-1}\\&
\Leftrightarrow f(x)=2e^x
\end{align*}
積分を使うことなく、代数方程式を解く要領で微分方程式が解けました。これがLaplace変換の力です。
両側Laplace変換
関数$f:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}, t \mapsto f(t)$について、以下の式による関数変換を両側Laplace変換(two-sided Laplace transform)という。
$$ \mathcal{B}[f(t)](s)\coloneqq\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$$
その名の通り、Laplace変換の積分区間を負の無限大まで拡大したものです。そして次の公式が得られます。
$$ \mathcal{B}[f(t)](s)=\mathcal{L}[f(t)](s)+\mathcal{L}[f(-t)](-s)$$
\begin{align*}& \mathcal{B}[f(t)](s)\\& =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}f(t)dt\\& =\int_0^{\infty} e^{-st}f(t)dt + \int_{-\infty}^0 e^{-st}f(t)dt\\& =\mathcal{L}[f(t)](s) + \int_{\infty}^0 e^{-s(-t)}f(t)(-dt) \enspace(t \mapsto-t)\\& =\mathcal{L}[f(t)](s) + \int_0^{\infty} e^{-(-s)t}f(t)dt\\& =\mathcal{L}[f(t)](s) + \mathcal{L}[f(-t)](-s) \end{align*}
Mellin変換とLaplace変換
さて、例の標語について考えていきましょう。
Mellin変換と両側Laplace変換の関係性を示せればOKです。
$$ \mathcal{M}[f(t)](s)=\mathcal{B}[f(e^{-t})](s)$$
$$\mathcal{B}[f(e^{-t})](s)$$
$$=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}f(e^{-t})dt$$
$$=\int_{\infty}^0 t^sf(t)\left(-\frac{1}{t}\right)dt\enspace(e^{-t}\mapsto t)$$
$$=\int_0^{\infty} t^{s-1}f(t)dt$$
$$=\mathcal{M}[f(t)](s)$$
これがMellin変換が両側Laplace変換の乗法版と言われる所以でしょう。
最後にこれらの一般論を述べておきましょう。
一般論：積分変換
以下の作用素$T\colon f \mapsto Tf$を積分変換(integral transform)という。
$a,b \in [-\infty,\infty]$と2変数関数$K(s,t)$に対し、
$$ T[f(t)](s)\coloneqq\int_a^b K(s,t)f(t)dt.$$
ここで、二変数関数$K(s,t)$を、積分変換$T$の核関数(kernel function)という。
$K(s,t)=K(t,s)$を満たす核関数を対称核関数(symmetric kernel function)という。
つまり、入力関数は$f$であり、出力関数は$Tf$であるような作用素のことです。
上の3つの変換はすべて積分変換である。
| 変換 | Laplace変換$\mathcal{L}$ | 両側Laplace変換$\mathcal{B}$ | Meilln変換$\mathcal{M}$ | Fourier変換$\mathcal{F}$ |
|---|---|---|---|---|
| 核$K(s,t)$ | $e^{-st}$ | $e^{-st}$ | $t^{s-1}$ | $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ist}$ |
$\mathcal{L}、\mathcal{B}、\mathcal{F}$は対称核である。
上で議論したことは核の変換ということでした。
最後にいくつか事実を述べて終わろうと思います。
(1)すべての積分変換は線形作用素である。すなわち、積分変換$T$について、任意の関数$f,g$と$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$に対し、
$$ T(\alpha f+\beta g)=\alpha Tf+\beta Tg.$$
(2)すべての線形作用素は積分変換になる。(Schwarzの核定理)
より詳しく知りたい方はFredholm理論で調べてみてください。
読んでいただきありがとうございました。
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