逆数和で1を作る
自分の備忘録がてら，幾つかの相異なる正の整数の逆数和で1を作る等式をまとめます．項を入れ替えて得られる等式は同じものとみなしています．新しいものを見つけ次第更新するかもしれません．
更新履歴
(2023/10/17：項数7の部分を追加)
項数1
$$1=\frac{1}{1}$$
項数2
$$1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$
を満たす相異なる正の整数$x,y$は存在しません．
項数3
$$1=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{6}$$
項数4
全部で6個あります．
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$$
項数5
数が多い(72個)のでタイプミスがある可能性が存在します…．分母が3以上の整数のみからなる式がたった1つなのは面白いですね．割合にすると約1.39%です．
72個の数式を表示
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{1806}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{44}+\frac{1}{924}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{45}+\frac{1}{630}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{46}+\frac{1}{483}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{48}+\frac{1}{336}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{294}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{51}+\frac{1}{238}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{54}+\frac{1}{189}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{56}+\frac{1}{168}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{60}+\frac{1}{140}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{63}+\frac{1}{126}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{70}+\frac{1}{105}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{78}+\frac{1}{91}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{25}+\frac{1}{600}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{26}+\frac{1}{312}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{216}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{28}+\frac{1}{168}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{120}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\frac{1}{96}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{33}+\frac{1}{88}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{36}+\frac{1}{72}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{40}+\frac{1}{60}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{19}+\frac{1}{342}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{20}+\frac{1}{180}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{21}+\frac{1}{126}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{22}+\frac{1}{99}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{24}+\frac{1}{72}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{54}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{30}+\frac{1}{45}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{10}+\frac{1}{16}+\frac{1}{240}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{10}+\frac{1}{18}+\frac{1}{90}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{10}+\frac{1}{20}+\frac{1}{60}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{10}+\frac{1}{24}+\frac{1}{40}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{14}+\frac{1}{231}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{15}+\frac{1}{110}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{22}+\frac{1}{33}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{156}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{14}+\frac{1}{84}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{60}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{16}+\frac{1}{48}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}+\frac{1}{36}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{21}+\frac{1}{28}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{21}+\frac{1}{420}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{22}+\frac{1}{220}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{100}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{28}+\frac{1}{70}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{36}+\frac{1}{45}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{13}+\frac{1}{156}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{14}+\frac{1}{84}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{60}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{16}+\frac{1}{48}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\frac{1}{36}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{21}+\frac{1}{28}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{140}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{12}+\frac{1}{42}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{72}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{40}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{120}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{45}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{30}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{20}$$
項数6
pythonで解を求めるプログラムを組んで調べたところ，全部で2320個もあるようです．全てをここに記すには余白が少ないので，幾つかだけ挙げておきます．
因みに，分母が3以上の整数のみからなる式は，2320個の内たったの27個でした．割合にして約1.16%です．少ないですね．
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{1807}+\frac{1}{3263442}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{3570}+\frac{1}{3655}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{25}+\frac{1}{601}+\frac{1}{360600}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{40}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{21}+\frac{1}{420}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{40}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}$$
項数7
ふと思い出して久しぶりにpythonプログラムに頑張ってもらったところ，解の個数は全部で245765となるようです．最も小さい整数で解の組を分類すると，
最小の整数が2の解 $\rightarrow$ 244817個
最小の整数が3の解 $\rightarrow$ 948個
です．最小の整数が3である解は全体の約0.39%に過ぎません．最小の整数が2である解が圧倒的に多いですね．こんなに差がつくなんて何だか不思議です．
見つけた中から幾つか例を挙げます．一番上の式は中々強烈な見た目をしていますね．
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{43}+\frac{1}{1807}+\frac{1}{3263443}+\frac{1}{10650056950806}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{135}+\frac{1}{140}+\frac{1}{189}+\frac{1}{252}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{21}+\frac{1}{672}+\frac{1}{2144}+\frac{1}{2345}$$
$$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{182}+\frac{1}{504}+\frac{1}{1170}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{21}+\frac{1}{588}+\frac{1}{1470}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{11}+\frac{1}{1400}+\frac{1}{23100}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}$$
項数9
項数9からは奇数の逆数のみの和で1を表す式が出現します．再びpythonプログラムに頑張ってもらった結果，項数9では次の5通りがそれに該当するようです．
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{135}+\frac{1}{10395}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{165}+\frac{1}{693}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{231}+\frac{1}{315}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{15}+\frac{1}{33}+\frac{1}{45}+\frac{1}{385}$$
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{45}+\frac{1}{231}$$
項数13
$$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{21}+\frac{1}{35}+\frac{1}{45}+\frac{1}{77}+\frac{1}{129}+\frac{1}{385}+\frac{1}{29799}+\frac{1}{148995}$$
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