導関数が正ならば増加関数であることの証明

$f(x)$は区間$I$で微分可能な関数とする.・・・ ①

このとき
「$ \forall x \in I , f'(x) \gt0 \Longrightarrow f(x) $が区間$I$において増加関数」

が成り立つ.

このことは数学Ⅱにおいて, まるで暗黙の了解のように扱われているが, 証明することができる.

まず，証明に入る前に$f(x)$が区間$I$で増加関数であることの定義を確認しておこう.
その定義とは「$Iに属するa \lt b$を満たす任意の$a,b$に対して, $常にf(a) \lt f(b)が成立する」$ということであった.

(証明)
$I$に属する任意の$a,b$$(a< b)$について,　
①と平均値の定理より，
$ f(b)-f(a)= f^{\prime} (c)(b-a), a \lt c \lt bを満たす$ような$c$が存在する.
仮定より，$ f^{\prime} (c) \gt 0, b-a \gt 0 $
よって, $f(b)-f(a)>0$
$f(a)< f(b)$
よって示すことができた.(終)