f(x)は区間Iで微分可能な関数とする.・・・ ①
このとき「∀x∈I,f′(x)>0⟹f(x)が区間Iにおいて増加関数」
が成り立つ.
このことは数学Ⅱにおいて, まるで暗黙の了解のように扱われているが, 証明することができる.
まず,証明に入る前にf(x)が区間Iで増加関数であることの定義を確認しておこう.その定義とは「に属するIに属するa<bを満たす任意のa,bに対して, 常にが成立する」常にf(a)<f(b)が成立する」ということであった.
(証明)Iに属する任意のa,b(a<b)について, ①と平均値の定理より,を満たすf(b)−f(a)=f′(c)(b−a),a<c<bを満たすようなcが存在する. 仮定より,f′(c)>0,b−a>0よって, f(b)−f(a)>0f(a)<f(b)よって示すことができた.(終)
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。