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導関数が正ならば増加関数であることの証明

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f(x)は区間Iで微分可能な関数とする.・・・ ①

このとき
xI,f(x)>0f(x)が区間Iにおいて増加関数」

が成り立つ.

このことは数学Ⅱにおいて, まるで暗黙の了解のように扱われているが, 証明することができる.

まず,証明に入る前にf(x)が区間Iで増加関数であることの定義を確認しておこう.
その定義とは「Ia<bを満たす任意のa,bに対して, f(a)<f(b)ということであった.

(証明)
Iに属する任意のa,b(a<b)について, 
①と平均値の定理より,
f(b)f(a)=f(c)(ba),a<c<bようなcが存在する.
仮定より,f(c)>0,ba>0
よって, f(b)f(a)>0
f(a)<f(b)
よって示すことができた.(終)

投稿日:202255
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