漸化式作問

(1)$a_1=1,a_{n+1}=3a_n+4n+2 (n\geqq 1)$
で定義される数列$a_n$の一般項を求めよ.

(2)$b_1=2,b_{n+1}=3b_n+2^n+4n+2(n\geqq 1)$で定義される数列$b_n$の一般項を求めよ.

(3)$c_1=1,c_{n+1}{c}_n=2^n(n\geqq 1)$で定義される数列$c_n$の一般項を求めよ.

[解答]
(1)$a_{n+1}+A(n+1)+B=3(a_n+An+B)$ $(A,Bは定数)$とおく.　与えられた漸化式と比較すると$A=2,B=2$がわかる.
よって$a_{n+1}+2(n+1)+2=3(a_n+2n+2)$と変形できるので，数列$a_n+2n+2$について見れば，初項$a_1+2\times 1+2=5，公比3$の等比数列ということがわかるので，
$a_n+2n+2=5･3^{n-1}$
∴$a_n=5･3^{n-1}-2n-2$

(2)与えられた漸化式を次のように変形できる.
$b_{n+1}+2(n+1)+2=3(b_n+2n+2)+2^n$
$b_n+2n+2=B_n$とおくと
$B_{n+1}=3B_n+2^n$
$\frac{B_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}\frac{B_n}{2^n}+\frac{1}{2}$
$\frac{B_{n+1}}{2^{n+1}}+1=\frac{3}{2}(\frac{B_n}{2^n}+1)$
$B_1=b_1+2+2=6$より
$\frac{B_n}{2^n}+1=(\frac{6}{2}+1)･(\frac{3}{2}{)}^{n-1}$$=4･(\frac{3}{2}{)}^{n-1}$
$B_n=8･3^{n-1}-2^n$
$b_n+2n+2=B_n$であったので，
$b_n=8･3^{n-1}-2^n-2$

(3)与えられた漸化式より，$c_n>0$がわかる.
両辺に底が2の対数をとると，
$lo{g}_2{c}_{n+1}+lo{g}_2{c}_n=n$
$C_n=lo{g}_2{c}_n$とおくと
$C_{n+1}=-C_n+n$
上式と$C_{n+1}+p(n+1)+q=-(C_n+pn+q)$$(p,qは定数)$を比較すると，$p=-\frac{1}{2}，q=\frac{1}{4}$とわかる.
$C_n-\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}=C_n^{\prime }$とおくと
$C_{n+1}^{\prime }=-C_n^{\prime }$
よって$C_n^{\prime }$は初項$-\frac{1}{4}，公比-1$の等比数列なので
$C_n^{\prime }=\frac{1}{4}\times (-1{)}^n$
$C_n=\frac{1}{4}\times (-1{)}^n+\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}$
よって$c_n=2^{\frac{1}{4}\times (-1{)}^n+\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}}$

[別解]
(1)$a_{n+1}=3a_n+4n+2$･･･①
$a_{n+2}=3a_{n+1}+4(n+1)+2$･･･②
②$-$①より，
$a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_n)+4$
$a_{n+1}-a_n=A_n$とおくと，
$A_{n+1}=3A_n+4$
$A_{n+1}+2=3(A_n+2)$
$A_n+2=(8+2)･3^{n-1}$
$a_{n+1}-a_n=10･3^{n-1}-2$
階差型なので，$a_n$が求まる

(2)めんどいから省略

(3)$c_{n+1}{c}_n=2^n$･･･①
$c_{n+2}{c}_{n+1}=2^{n+1}$･･･②
$\frac{\mathrm{②}}{\mathrm{①}}$より，$\forall n\in N，c_n\ne 0$であるから，$c_{n+2}=2c_n$
$c_1=1$，$c_2=2$であるから，
$n$が奇数のとき$n=2k-1(k\geqq 1)$とおくと，
$c_{2k-1}=2^{k-1}$　∴$c_n=2^{\frac{n-1}{2}}(n=1,3,5,\dots )$
$n$が偶数のとき$n=2k(k\geqq 1)$とおくと，
$c_{2k}=2^k$　∴$c_n=2^{\frac{n}{2}}(n=2,4,6,\dots )$