漸化式作問

(1)$a_1=1, a_{n+1}=3a_{n}+4n+2　(n≧1)$
で定義される数列${a_n}$の一般項を求めよ.

(2)$b_1=2, b_{n+1}=3b_n+2^{n}+4n+2 (n≧1)$で定義される数列${b_n}$の一般項を求めよ.

(3)$c_1=1, c_{n+1}c_n=2^n (n≧1)$で定義される数列${c_n}$の一般項を求めよ.

[解答]
(1)$a_{n+1}+A(n+1)+B=3(a_n+An+B)$ $(A,Bは定数)$とおく.　与えられた漸化式と比較すると$A=2, B=2$がわかる.
よって$a_{n+1}+2(n+1)+2=3(a_n+2n+2)$と変形できるので，数列${a_n+2n+2}$について見れば，初項$a_1+2×1+2=5，公比3$の等比数列ということがわかるので，
$a_n+2n+2=5･3^{n-1}$
∴$a_n=5･3^{n-1}-2n-2$

(2)与えられた漸化式を次のように変形できる.
$b_{n+1}+2(n+1)+2=3(b_n+2n+2)+2^n$
$b_n+2n+2=B_n$とおくと
$B_{n+1}=3B_n+2^n$
$\frac {B_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac {3}{2} \frac{B_n}{2^n}+\frac {1}{2}$
$\frac{B_{n+1}}{2^{n+1}}+1=\frac{3}{2}(\frac{B_n}{2^n}+1)$
$B_1=b_1+2+2=6$より
$\frac{B_n}{2^n}+1=(\frac{6}{2}+1)･(\frac{3}{2})^{n-1}$$=4･(\frac{3}{2})^{n-1}$
$B_n=8･3^{n-1}-2^n$
$b_n+2n+2=B_n$であったので，
$b_n=8･3^{n-1}-2^n-2$

(3)与えられた漸化式より，$c_n>0$がわかる.
両辺に底が2の対数をとると，
$log_{2}c_{n+1}+log_2c_n=n$
$C_n=log_2c_n$とおくと
$C_{n+1}=-C_n+n$
上式と$C_{n+1}+p(n+1)+q=-(C_n+pn+q)$$(p,qは定数)$を比較すると，$p=-\frac{1}{2}，q=\frac{1}{4}$とわかる.
$C_n-\frac{1}{2}n+\frac{1}{4}=C'_n$とおくと
$C'_{n+1}=-C'_n$
よって${C'_n}$は初項$-\frac{1}{4}，公比-1$の等比数列なので
$C'_n=\frac{1}{4}×(-1)^n$
$C_n=\frac{1}{4}×(-1)^n+\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}$
よって$c_n=2^{\frac{1}{4}×(-1)^n+\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}}$

[別解]
(1)$a_{n+1}=3a_n+4n+2$･･･①
$a_{n+2}=3a_{n+1}+4(n+1)+2$･･･②
②$-$①より，
$a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_n)+4$
$a_{n+1}-a_n=A_n$とおくと，
$A_{n+1}=3A_n+4$
$A_{n+1}+2=3(A_n+2)$
$A_n+2=(8+2)･3^{n-1}$
$a_{n+1}-a_n=10･3^{n-1}-2$
階差型なので，$a_n$が求まる

(2)めんどいから省略

(3)$c_{n+1}c_n=2^n$･･･①
$c_{n+2}c_{n+1}=2^{n+1}$･･･②
$\frac{②}{①}$より，$∀n∈N，c_n≠0$であるから，$c_{n+2}=2c_n$
$c_1=1$，$c_2=2$であるから，
$n$が奇数のとき$n=2k-1 (k≧1)$とおくと，
$c_{2k-1}=2^{k-1}$　∴$c_n=2^{\frac{n-1}{2}} (n=1,3,5,…)$
$n$が偶数のとき$n=2k (k≧1)$とおくと，
$c_{2k}=2^k$　∴$c_n=2^{\frac{n}{2}} (n=2,4,6,…)$