はじめに
こんにちは.今回も簡単な内容の不等式です.内容はというと,Weighted AM-GM不等式の一般化になっています.
日本語で何と言うかわかりません.
前提知識
Jensenの不等式について明示しておきます.
Jensenの不等式
は整数で,はをみたす正数,はで凸であるとする.このとき,任意のに対して,
をみたす.
が狭義凸関数ならば,等号成立条件はです.
詳しいことは,
こちら
を見てください.
Weighted Power Mean
本題です.
Weighted Power Mean
はをみたす.
とおくと,ならば,が成り立つ.
等号成立条件は.
これがWeighted AM-GM不等式の一般化になっているんです.実際に,であるから,
が成り立っていて,これはWeighted AM-GM不等式です.
同様にして,であるから,
が成り立っていて,これはWeighted QM-AM-GM-HM不等式です.
なんやそれってなった人は,これだけは覚えておきましょう.(QM-AMのほうはでJensenの不等式を適応すればよく,GM-HMはAM-GMの逆数を代入すればいいです.)
以下証明です.
証明
証明の流れです.
1.
2.
3. で連続
まず,とおきましょう.ここで,とします.このとき,であるから,は凸です.よってJensenの不等式より,任意のに対して,
まずであるとき,であるから,前述より,
が成り立ち,とすれば,
次に,であるとき,であるから,前述より,
成り立ち,とすれば,
でとなることを示す.
とおく.このとき,をみたす.
が成り立ち,また,
であるから,が成り立つ.
よって,が連続であることに注意すると,
このことより,で,,で,が成り立つことが分かります.
証明の後に
例題はありません...
おわりに
ここまで見ていただきありがとうございました.まあここまで覚える必要はないと思います.(QM-AM-GM-HMで十分だとおもいます)ここで語ることはもうなさそうです.ではありがとうございました.