Weighted Power Mean ～Weighted AM-GM不等式の一般化～

数学オリンピック,不等式

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はじめに

こんにちは.今回も簡単な内容の不等式です.内容はというと,Weighted AM-GM不等式の一般化になっています.
日本語で何と言うかわかりません.

前提知識

微分の基礎
凸関数
Jensenの不等式

Jensenの不等式について明示しておきます.

Jensenの不等式

$n\ge2$は整数で,$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$は$\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$をみたす正数,$f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$は$I\subset\mathbb R$で凸であるとする.このとき,任意の$x_i\in I\ (i=1,2,\cdots,n)$に対して,
$$\sum_{i=1}^n\lambda_if\left(x_i\right)\ge f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right)$$
をみたす.
$f$が狭義凸関数ならば,等号成立条件は$x_1=x_2=\cdots=x_n$です.

詳しいことは, こちらを見てください.

Weighted Power Mean

本題です.

Weighted Power Mean

$\lambda_i,x_i>0$は$\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$をみたす.

\begin{equation} f_{wpm}(r)=\left\{ \begin{array}{} \displaystyle\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i^r\right)^{\frac1r} && (r\ne0) \\ \displaystyle\prod_{i=1}^nx_i^{\lambda_i} && (r=0) \end{array} \right. \end{equation}

とおくと,$a>b$ならば,$f_{wpm}(a)\ge f_{wpm}(b)$が成り立つ.
等号成立条件は$x_1=x_2=\cdots=x_n$.

これがWeighted AM-GM不等式の一般化になっているんです.実際に,$f_{wpm}(1)\ge f_{wpm}(0)$であるから,
$$\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\ge\prod_{i=1}^n x_i^{\lambda_i}$$
が成り立っていて,これはWeighted AM-GM不等式です.
同様にして,$f_{wpm}(2)\ge f_{wpm}(1)\ge f_{wpm}(0)\ge f_{wpm}(-1)$であるから,
$$\sqrt{\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i^2}\ge\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\ge\prod_{i=1}^nx_i^{\lambda_i}\ge\dfrac1{\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i\frac{1}{x_i}}$$
が成り立っていて,これはWeighted QM-AM-GM-HM不等式です.
なんやそれってなった人は,これだけは覚えておきましょう.(QM-AMのほうは$-\sqrt x$でJensenの不等式を適応すればよく,GM-HMはAM-GMの逆数を代入すればいいです.)

以下証明です.

証明

証明の流れです.
1. $f_{wpm}(a)\ge f_{wpm}(1) \quad (a>1)$
2. $f_{wpm}(a)\ge f_{wpm}(b)\quad (a>b>0,0>a>b)$
3. $r=0$で連続

$\textbf{1.}$

まず,$f(x)=x^a\ (x>0)$とおきましょう.ここで,$a>1$とします.このとき,$f''(x)=a(a-1)x^{a-2}>0$であるから,$f$は凸です.よってJensenの不等式より,任意の$x_i>0$に対して,
$$\sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i)\ge f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right)\\ \Longleftrightarrow\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i^a\ge\sum_{i=1}^n\left(\lambda_ix_i\right)^a\\ \Longleftrightarrow\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i^a\right)^{\frac1a}\ge\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\\\Longleftrightarrow f_{wpm}(a)\ge f_{wpm}(1).$$

$\textbf{2.}$

まず$a>b>0$であるとき,$\dfrac{a}b>1$であるから,前述より,
$$\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i^{\frac{a}b}\right)^{\frac{b}a}\ge\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i$$
が成り立ち,$x_i=y_i^b$とすれば,
$$\left(\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^a\right)^{\frac{b}a}\ge\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^b\\\Longleftrightarrow \left(\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^a\right)^{\frac1a}\ge\left(\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^b\right)^{\frac1b}\\\Longleftrightarrow f_{wpm}(a)\ge f_{wpm}(b).$$

次に,$0>a>b$であるとき,$\dfrac{b}a>1$であるから,前述より,
$$\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i^{\frac{b}a}\right)^{\frac{a}b}\ge\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i$$
成り立ち,$x_i=y_i^a$とすれば,
$$\left(\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^b\right)^{\frac{a}b}\ge\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^a \\\Longleftrightarrow \left(\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^b\right)^{\frac1b}\le\left(\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^a\right)^{\frac1a}\\\Longleftrightarrow f_{wpm}(a)\ge f_{wpm}(b).$$

$\textbf{3.}$

$r\rightarrow0$で$f(r)\rightarrow f(0)$となることを示す.

$\displaystyle g(r)=\log\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i^r\right)$ とおく.このとき,$g(0)=0,e^{\frac{g(r)}r}=f_{wpm}(r)$をみたす.

$\displaystyle\lim_{r\rightarrow0}\dfrac{g(r)}r=\lim_{r\rightarrow0}\frac{g(r)-g(0)}{r-0}=g'(0)$が成り立ち,また,
$\displaystyle g'(r)=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i^r\log x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i^r}$ であるから,$\displaystyle g'(0)=\log\left(\prod_{i=1}^nx_i^{\lambda_i}\right)$が成り立つ.

よって,$e^x$が連続であることに注意すると,
$$\lim_{r\rightarrow0}f_{wpm}(r)=\lim_{r\rightarrow0}e^{\frac{g(r)}{r}}=e^{g'(0)}=\prod_{i=1}^nx_i^{\lambda_i}=f_{wpm}(0).$$

このことより,$a>0$で,$f(a)\ge f(0)$,$a<0$で,$f(a)\le f(0)$が成り立つことが分かります.

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証明の後に

例題はありません...

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