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高校数学解説
文献あり

Weighted Power Mean ~Weighted AM-GM不等式の一般化~

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はじめに

こんにちは.今回も簡単な内容の不等式です.内容はというと,Weighted AM-GM不等式の一般化になっています.
日本語で何と言うかわかりません.

前提知識

  • 微分の基礎
  • 凸関数
  • Jensenの不等式

Jensenの不等式について明示しておきます.

Jensenの不等式

n2は整数で,λ1,λ2,,λni=1nλi=1をみたす正数,f:RRIRで凸であるとする.このとき,任意のxiI (i=1,2,,n)に対して,
i=1nλif(xi)f(i=1nλixi)
をみたす.
fが狭義凸関数ならば,等号成立条件はx1=x2==xnです.

詳しいことは, こちら を見てください.

Weighted Power Mean

本題です.

Weighted Power Mean

λi,xi>0i=1nλi=1をみたす.

fwpm(r)={(i=1nλixir)1r(r0)i=1nxiλi(r=0)

とおくと,a>bならば,fwpm(a)fwpm(b)が成り立つ.
等号成立条件はx1=x2==xn.

これがWeighted AM-GM不等式の一般化になっているんです.実際に,fwpm(1)fwpm(0)であるから,
i=1nλixii=1nxiλi
が成り立っていて,これはWeighted AM-GM不等式です.
同様にして,fwpm(2)fwpm(1)fwpm(0)fwpm(1)であるから,
i=1nλixi2i=1nλixii=1nxiλi1i=1nλi1xi
が成り立っていて,これはWeighted QM-AM-GM-HM不等式です.
なんやそれってなった人は,これだけは覚えておきましょう.(QM-AMのほうはxでJensenの不等式を適応すればよく,GM-HMはAM-GMの逆数を代入すればいいです.)

以下証明です.

証明

証明の流れです.
1. fwpm(a)fwpm(1)(a>1)
2. fwpm(a)fwpm(b)(a>b>0,0>a>b)
3. r=0で連続

1.
まず,f(x)=xa (x>0)とおきましょう.ここで,a>1とします.このとき,f(x)=a(a1)xa2>0であるから,fは凸です.よってJensenの不等式より,任意のxi>0に対して,
i=1nλif(xi)f(i=1nλixi)i=1nλixiai=1n(λixi)a(i=1nλixia)1ai=1nλixifwpm(a)fwpm(1).




2.
まずa>b>0であるとき,ab>1であるから,前述より,
(i=1nλixiab)bai=1nλixi
が成り立ち,xi=yibとすれば,
(i=1nλiyia)bai=1nλiyib(i=1nλiyia)1a(i=1nλiyib)1bfwpm(a)fwpm(b).

次に,0>a>bであるとき,ba>1であるから,前述より,
(i=1nλixiba)abi=1nλixi
成り立ち,xi=yiaとすれば,
(i=1nλiyib)abi=1nλiyia(i=1nλiyib)1b(i=1nλiyia)1afwpm(a)fwpm(b).



3.
r0f(r)f(0)となることを示す.

g(r)=log(i=1nλixir) とおく.このとき,g(0)=0,eg(r)r=fwpm(r)をみたす.

limr0g(r)r=limr0g(r)g(0)r0=g(0)が成り立ち,また,
g(r)=i=1nλixirlogxii=1nλixir であるから,g(0)=log(i=1nxiλi)が成り立つ.

よって,exが連続であることに注意すると,
limr0fwpm(r)=limr0eg(r)r=eg(0)=i=1nxiλi=fwpm(0).

このことより,a>0で,f(a)f(0),a<0で,f(a)f(0)が成り立つことが分かります.

証明の後に
例題はありません...










おわりに

ここまで見ていただきありがとうございました.まあここまで覚える必要はないと思います.(QM-AM-GM-HMで十分だとおもいます)ここで語ることはもうなさそうです.ではありがとうございました.

参考文献

投稿日:202258
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kk2
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2006年に生まれました

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