高校数学解説

文献あり

Weighted Power Mean ～Weighted AM-GM不等式の一般化～

数学オリンピック,不等式

459

はじめに

こんにちは.今回も簡単な内容の不等式です.内容はというと,Weighted AM-GM不等式の一般化になっています.
日本語で何と言うかわかりません.

前提知識

微分の基礎
凸関数
Jensenの不等式

Jensenの不等式について明示しておきます.

Jensenの不等式

$n \geq 2$ は整数で, $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ は $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = 1$ をみたす正数, $f : R \to R$ は $I \subset R$ で凸であるとする.このとき,任意の $x_{i} \in I (i = 1, 2, \dots, n)$ に対して,
$\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} f (x_{i}) \geq f (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i})$
をみたす.
$f$ が狭義凸関数ならば,等号成立条件は $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ です.

詳しいことは, こちらを見てください.

Weighted Power Mean

本題です.

Weighted Power Mean

$λ_{i}, x_{i} > 0$ は $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = 1$ をみたす.

$f_{w p m} (r) = {\begin{matrix} {(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}^{r})}^{\frac{1}{r}} & (r \neq 0) \\ \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{λ_{i}} & (r = 0) \end{matrix}$

とおくと, $a > b$ ならば, $f_{w p m} (a) \geq f_{w p m} (b)$ が成り立つ.
等号成立条件は $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ .

これがWeighted AM-GM不等式の一般化になっているんです.実際に, $f_{w p m} (1) \geq f_{w p m} (0)$ であるから,
$\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i} \geq \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{λ_{i}}$
が成り立っていて,これはWeighted AM-GM不等式です.
同様にして, $f_{w p m} (2) \geq f_{w p m} (1) \geq f_{w p m} (0) \geq f_{w p m} (- 1)$ であるから,
$\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}^{2}} \geq \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i} \geq \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{λ_{i}} \geq \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} \frac{1}{x_{i}}}$
が成り立っていて,これはWeighted QM-AM-GM-HM不等式です.
なんやそれってなった人は,これだけは覚えておきましょう.(QM-AMのほうは $- \sqrt{x}$ でJensenの不等式を適応すればよく,GM-HMはAM-GMの逆数を代入すればいいです.)

以下証明です.

証明

証明の流れです.
1.

f_{w p m} (a) \geq f_{w p m} (1) (a > 1)

f_{w p m} (a) \geq f_{w p m} (b) (a > b > 0, 0 > a > b)

r = 0

で連続

1.

まず,

f (x) = x^{a} (x > 0)

とおきましょう.ここで,

a > 1

とします.このとき,

f^{″} (x) = a (a - 1) x^{a - 2} > 0

であるから,

f

は凸です.よってJensenの不等式より,任意の

x_{i} > 0

に対して,

\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} f (x_{i}) \geq f (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}) ⟺ \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}^{a} \geq \sum_{i = 1}^{n} {(λ_{i} x_{i})}^{a} ⟺ {(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}^{a})}^{\frac{1}{a}} \geq \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i} ⟺ f_{w p m} (a) \geq f_{w p m} (1) .

2.

まず

a > b > 0

であるとき,

\frac{a}{b} > 1

であるから,前述より,

{(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}^{\frac{a}{b}})}^{\frac{b}{a}} \geq \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}

が成り立ち,

x_{i} = y_{i}^{b}

とすれば,

{(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} y_{i}^{a})}^{\frac{b}{a}} \geq \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} y_{i}^{b} ⟺ {(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} y_{i}^{a})}^{\frac{1}{a}} \geq {(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} y_{i}^{b})}^{\frac{1}{b}} ⟺ f_{w p m} (a) \geq f_{w p m} (b) .

次に,

0 > a > b

であるとき,

\frac{b}{a} > 1

であるから,前述より,

{(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}^{\frac{b}{a}})}^{\frac{a}{b}} \geq \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}

成り立ち,

x_{i} = y_{i}^{a}

とすれば,

{(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} y_{i}^{b})}^{\frac{a}{b}} \geq \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} y_{i}^{a} ⟺ {(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} y_{i}^{b})}^{\frac{1}{b}} \leq {(\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} y_{i}^{a})}^{\frac{1}{a}} ⟺ f_{w p m} (a) \geq f_{w p m} (b) .

3.

r \to 0

で

f (r) \to f (0)

となることを示す.

g (r) = \log (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}^{r})

とおく.このとき,

g (0) = 0, e^{\frac{g (r)}{r}} = f_{w p m} (r)

をみたす.

lim_{r \to 0} \frac{g (r)}{r} = lim_{r \to 0} \frac{g (r) - g (0)}{r - 0} = g^{'} (0)

が成り立ち,また,

g^{'} (r) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}^{r} \log x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}^{r}}

であるから,

g^{'} (0) = \log (\prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{λ_{i}})

が成り立つ.

よって,

e^{x}

が連続であることに注意すると,

lim_{r \to 0} f_{w p m} (r) = lim_{r \to 0} e^{\frac{g (r)}{r}} = e^{g^{'} (0)} = \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{λ_{i}} = f_{w p m} (0) .

このことより,

a > 0

で,

f (a) \geq f (0)

a < 0

で,

f (a) \leq f (0)

が成り立つことが分かります.

証明の後に

例題はありません...

おわりに

ここまで見ていただきありがとうございました.まあここまで覚える必要はないと思います.(QM-AM-GM-HMで十分だとおもいます)ここで語ることはもうなさそうです.ではありがとうございました.

参考文献

[1]

柳田五夫, 初等的な不等式Ⅰ, 閲覧日 2022年5月8日, http://izumi-math.jp/I_Yanagita/emath_ver1.1ps.pdf

投稿日：2022年5月8日

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