3×3魔法陣の作り方

魔法陣とは

行、列、斜めのどの3つの数を足しても同じ数になる数の並びを魔法陣といいます。

例えば、以下の魔法陣ではどこを足しても15になるようになっています。

行
8+3+4=15
1+5+9=15
6+7+2=15

列
8+1+6=15
3+5+7=15
4+9+2=15

斜め
8+5+2=15
4+5+6=15

ちなみに、1+...+9=45で、45÷3=15なので
全て足すと15になるわけです。

3×3魔法陣は実質1通りということが分かっています。

3×3魔法陣となる条件と証明

結論から言うと、

1. 1,3を上下左右のいずれかに配置する
2. その間に8を入れる
3. 真ん中に5を入れる

これですべて足して15になるように埋めれば完成です。

なぜか説明します。

文字を置いてみる

3×3=9なので、9変数かと思いますが、変数は9個でなくてもよいです。

足して15という条件があるので、以下のようになります。

a+b+(15-a-b)=15
b+e+(15-b-e)=15
a+e+(15-a-e)=15
(15-a-b)+(15-a-e)+(2a+b+e-15)=15
となり、条件を満たします。

ここで、gに注目すると、2つの式ができます。

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}(15-a-b)+e+g=15\\ (15-a-e)+(15-b-e)+g=15\end{array}\end{array}$$

整理して

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}g=a+b-e-\mathrm{①}\\ g=a+b+2e-15-\mathrm{②}\end{array}\end{array}$$

①、②から
a+b-e=a+b+2e-15
15=3e
e=5

つまり、真ん中は5が確定します。
e=5として整理すると

さらにd,gも分かります。
足して15となるようにすると

ここで多くのサイトを調べると
「1を使って15になるのは
1+5+9=15
1+6+8=15
の2通りしかないので1は斜めに入らない
また、3を使って15になるのは
3+4+8=15
3+5+7=15
の2通りしかないので3も斜めに入らない」
としているのですが、別のやり方でしようと思います。

同じことを書いてもつまらないので。

まず、a=1,2,3,4とします。

これは、4隅の中に1,2,3,4があれば、回転して左上に持ってくればよいという考えです。

5は真ん中に使われているので除外です。

ちなみに、真ん中の5をはさんだ両側は10とならなければならず、上下左右すべてに1,2,3,4が使われることはないので、4隅のいずれかに1,2,3,4が含まれることになります。

a+b、(10-a)+(10-b)は15を超えてはならないので
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}a+b<15\\ (10-a)+(10-b)<15\end{array}\end{array}$$
整理すると

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}a+b<15\\ 5<a+b\end{array}\end{array}$$

よって

$5<a+b<15$

となります。

同様に、(15-a-b)+(10-a)は15を超えてはならないので

$(15-a-b)+(10-a)=25-2a-b<15$
$10<2a+b$
$10-a<a+b$

ここで、$a=1,2,3,4$なので、常に$5<10-a$となります。

$5<a+b<15$から

$10-a<a+b<15$

よって
$a=1\Rightarrow b=9$
$a=2\Rightarrow b=7,8,9$
$a=3\Rightarrow b=5,6,7,8,9$
$a=4\Rightarrow b=3,4,5,6,7,8,9$

さらに以下の条件により候補を減らせます。
$b\ne 5$より$b=5$は除外
$a\ne b$より$a=4,b=4$は除外

【途中経過】
$a=1\Rightarrow b=9$
$a=2\Rightarrow b=7,8,9$
$a=3\Rightarrow b=6,7,8,9$
$a=4\Rightarrow b=3,6,7,8,9$

$15-a-b\ne 5 \Rightarrow a+b\ne 10$より
$a=1,b=9は除外$
$a=2,b=8は除外$
$a=3,b=7は除外$
$a=4,b=6は除外$

【途中経過】
$a=2\Rightarrow b=7,9$
$a=3\Rightarrow b=6,8,9$
$a=4\Rightarrow b=3,7,8,9$

$a\ne 15-a-b \Rightarrow 2a\ne 15-b$より
$a=3,b=9$は除外
$a=4,b=7$は除外

【途中経過】
$a=2\Rightarrow b=7,9$
$a=3\Rightarrow b=6,8$
$a=4\Rightarrow b=3,8,9$

$b\ne 15-a-b \Rightarrow 2b\ne 15-a$より
$a=3,b=6$は除外

【途中経過】
$a=2\Rightarrow b=7,9$
$a=3\Rightarrow b=8$
$a=4\Rightarrow b=3,8,9$

$15-a-b\ne 2a+b-10 \Rightarrow 3a\ne 25-2b$より
$a=3,b=8$は除外

【途中経過】
$a=2\Rightarrow b=7,9$
$a=4\Rightarrow b=3,8,9$

$10-a\ne 2a+b-10 \Rightarrow 3a\ne 20-b$より
$a=4,b=8$は除外

【途中経過】
$a=2\Rightarrow b=7,9$
$a=4\Rightarrow b=3,9$

よって、魔法陣は以下のようになります。

ここで
②は①の線対称（258が回転軸）
③は①の線対称（951が回転軸）
④は②の線対称（951が回転軸）
となります。
よって、実質

の1通りになります。

これに線対称の操作を何度行っても魔法陣の性質は保てます。

魔法陣から学ぶ群論

$a=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}2& 7& 6\\ 9& 5& 1\\ 4& 3& 8\end{array}\right)\end{array}$
とします。

これに対して、

1. 左右を反転させるの操作を$\tau$
2. 右に90°回転する操作を$\sigma$
3. 変更しないという操作を$e$

とします。

例えば
$\tau (a)=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}6& 7& 2\\ 1& 5& 9\\ 8& 3& 4\end{array}\right)\end{array}$,$\sigma (a)=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}4& 9& 2\\ 3& 5& 7\\ 8& 1& 6\end{array}\right)\end{array}$
, $e(a)=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}2& 7& 6\\ 9& 5& 1\\ 4& 3& 8\end{array}\right)\end{array}$

です。

この性質を使うと、2回連続で反転させると元に戻るので

${\tau }^2(a)=e(a)$

4回連続で右に90°回転させると元に戻るので

${\sigma }^4(a)=e(a)$

つまり
${\tau }^2=e$
${\sigma }^4=e$
となります。

左に90°回転は右に270°回転するのと同じなので
${\sigma }^3$となり、$\sigma$で表せます。

${\sigma }^3(a)=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}6& 1& 8\\ 7& 5& 3\\ 2& 9& 4\end{array}\right)\end{array}$

180°回転は右に90°回転を2連続で行えばよいので

${\sigma }^2=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}8& 3& 4\\ 1& 5& 9\\ 6& 7& 2\end{array}\right)\end{array}$

では、これを左右反転させてみると

$\tau {\sigma }^2(a)=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 8\\ 9& 5& 1\\ 2& 7& 6\end{array}\right)\end{array}$

となり、これはaを上下反転させたものと同じものになります。

ちなみに、上下反転を2回連続で行うと元に戻るので

$\tau {\sigma }^2\tau {\sigma }^2=e$
$\tau {\sigma }^2\tau ={\sigma }^2$

最後に、斜めを回転軸にした線対称はどうなるかを考えます。

左上から右下への直線に対する線対称は、右に90°回転した後に左右反転すればよいので

$\tau \sigma (a)=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}2& 9& 4\\ 7& 5& 3\\ 6& 1& 8\end{array}\right)\end{array}$

これも2回連続で行うと元に戻るので

$\tau \sigma \tau \sigma =e$
$\tau \sigma \tau ={\sigma }^{-1}={\sigma }^3$

右上から左下への直線に対する線対称は、左右反転した後に右に90°回転すればよいので

$\sigma \tau (a)=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}8& 1& 6\\ 3& 5& 7\\ 4& 9& 2\end{array}\right)\end{array}$

やはり2回連続で行うと元に戻るので

$\sigma \tau \sigma \tau =e$
$\tau \sigma \tau ={\sigma }^{-1}={\sigma }^3$

ちなみに、先ほどの上下反転を
$\tau {\sigma }^2\tau ={\sigma }^2$
で表しましたが、
$\tau {\sigma }^2\tau =(\tau \sigma \tau )(\tau \sigma \tau )$
と表せたり
$\tau {\sigma }^3\tau =(\tau \sigma \tau )(\tau \sigma \tau )(\tau \sigma \tau )={\sigma }^3{\sigma }^3{\sigma }^3=\sigma$
ということもわかるので
$\tau \sigma \tau ={\sigma }^3$の条件さえあれば$\tau {\sigma }^2\tau$は不要です。

よって、魔法陣は

$D=\{e,\tau ,\sigma ,{\sigma }^2,{\sigma }^3,\tau \sigma ,\tau {\sigma }^2,\tau {\sigma }^3|\tau \sigma \tau ={\sigma }^3,{\tau }^2={\sigma }^4=e\}$

の8通りで表すことができ、1つのパターンの反転と回転の組み合わせで表現できる、ということが分かります。

この$D$を二面体群と言います。