不等式botさんの問題130を線形代数の知識で解きます.
考察
となってくれたらうれしいのですがそもそも不等号が逆ですしも常に非負とは限りません.
次に変数を消して帰納法に持ち込めないかと考えました.
試しにを消そうとしてで偏微分してみると,あることに気が付きました.
この式はの二次形式になっています.
そうすると,係数行列が半正定値であることを示せばよいです.
行列式の計算
成分がである次正方行列の行列式をとします.
分母を払うと
となります.ここで,が次の斉次式であることからは次の斉次多項式です.
とすると行目と行目が同じになるのでとなり,がを因数に持つことがわかります.
同様に,も因数に持ちます.
が次であることからある定数が存在して となることがわかります.
定数の決定
としておきます.
とおいて の極限を考えます.
すると,を展開したとき成分を含む項はで,それ以外はとなるので,
となります.
また,
であるので, がわかり, から となります.
仕上げ
上の結果から となるので のとき となることがわかりました.
また,主小行列式はどれも の形をしているのでこれも非負であり,成分が である行列が半正定値であることがわかりました.
よって,この行列から作られる二次形式は常に非負であり,
が証明できました.