不等式botさんの問題130を線形代数の知識で解く

不等式botさんの問題130を線形代数の知識で解きます．

考察

${\displaystyle \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{a_i{a}_j}{x_i+x_j}\ge \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{a_i{a}_j}{2\sqrt{x_i{x}_j}}=\frac{1}{2}{\left(\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{\sqrt{x_i}}\right)}^2\ge 0}$
となってくれたらうれしいのですがそもそも不等号が逆ですし$a_i{a}_j$も常に非負とは限りません．

次に変数を消して帰納法に持ち込めないかと考えました．
試しに$a_n$を消そうとして$a_n$で偏微分してみると，あることに気が付きました．
この式は$a_1,a_2,\dots ,a_n$の二次形式になっています．
そうすると，係数行列が半正定値であることを示せばよいです．

行列式の計算

$(i,j)$成分が${\displaystyle \frac{1}{x_i+y_j}}$である$n$次正方行列の行列式を${\mathrm{\Delta }}_n(x_1,x_2,\dots ,x_n;y_1,y_2,\dots ,y_n)$とします．

分母を払うと
${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_n=\frac{P}{\prod _{1\le i,j\le n}(x_i+y_j)}}$
となります．ここで，${\mathrm{\Delta }}_n$が$-n$次の斉次式であることから$P$は$n^2-n$次の斉次多項式です．
$x_i=x_j$とすると$i$行目と$j$行目が同じになるので${\mathrm{\Delta }}_n=0$となり，${\mathrm{\Delta }}_n$が$x_i-x_j$を因数に持つことがわかります．
同様に，$y_i-y_j$も因数に持ちます．
$P$が$n^2-n$次であることからある定数$C_n$が存在して $P=C_n\prod _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)(y_i-y_j)$ となることがわかります．

定数の決定

${\displaystyle F_n(x_1,\dots ,x_n;y_1,\dots ,y_n)=\frac{\prod _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)(y_i-y_j)}{\prod _{1\le i,j\le n}(x_i+y_j)}}$
としておきます．

$x_n=y_n=t$ とおいて $t\to \mathrm{\infty }$ の極限を考えます．
すると，${\mathrm{\Delta }}_n$を展開したとき$(n,n)$成分を含む項は${\displaystyle O\left(\frac{1}{t}\right)}$で，それ以外は${\displaystyle O\left(\frac{1}{t^2}\right)}$となるので，
${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}2t{\mathrm{\Delta }}_n(x_1,\dots ,x_{n-1},t;y_1,\dots ,y_{n-1},t)={\mathrm{\Delta }}_{n-1}(x_1,\dots ,x_{n-1};y_1,\dots ,y_{n-1})}$
となります．
また，${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}2t{F}_n(x_1,\dots ,x_{n-1},t;y_1,\dots ,y_{n-1},t)=F_{n-1}(x_1,\dots ,x_{n-1};y_1,\dots ,y_{n-1})}$
であるので， $C_n=C_{n-1}$ がわかり，$C_1=1$ から $C_n=1$ となります．

仕上げ

上の結果から ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_n(x_1,\dots ,x_n;x_1,\dots ,x_n)=\frac{\prod _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2}{\prod _{1\le i,j\le n}(x_i+x_j)}}$ となるので $x_i>0$ のとき ${\mathrm{\Delta }}_n\ge 0$ となることがわかりました．
また，主小行列式はどれも${\mathrm{\Delta }}_k(k=1,\dots ,n-1)$ の形をしているのでこれも非負であり，$(i,j)$成分が${\displaystyle \frac{1}{x_i+x_j}}$ である行列が半正定値であることがわかりました．
よって，この行列から作られる二次形式は常に非負であり， ${\displaystyle \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{a_i{a}_j}{x_i+x_j}\ge 0}$
が証明できました．