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不等式botさんの問題130を線形代数の知識で解く

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不等式botさんの問題130を線形代数の知識で解きます.

aiを実数,xi>0とするとき
i=1nj=1naiajxi+xj0
を示せ.

考察

i=1nj=1naiajxi+xji=1nj=1naiaj2xixj=12(i=1naixi)20
となってくれたらうれしいのですがそもそも不等号が逆ですしaiajも常に非負とは限りません.

次に変数を消して帰納法に持ち込めないかと考えました.
試しにanを消そうとしてanで偏微分してみると,あることに気が付きました.
この式はa1,a2,,anの二次形式になっています.
そうすると,係数行列が半正定値であることを示せばよいです.

行列式の計算

(i,j)成分が1xi+yjであるn次正方行列の行列式をΔn(x1,x2,,xn;y1,y2,,yn)とします.

分母を払うと
Δn=P1i,jn(xi+yj)
となります.ここで,Δnn次の斉次式であることからPn2n次の斉次多項式です.
xi=xjとするとi行目とj行目が同じになるのでΔn=0となり,Δnxixjを因数に持つことがわかります.
同様に,yiyjも因数に持ちます.
Pn2n次であることからある定数Cnが存在して P=Cn1i<jn(xixj)(yiyj) となることがわかります.

定数の決定

Fn(x1,,xn;y1,,yn)=1i<jn(xixj)(yiyj)1i,jn(xi+yj)
としておきます.

xn=yn=t とおいて t の極限を考えます.
すると,Δnを展開したとき(n,n)成分を含む項はO(1t)で,それ以外はO(1t2)となるので,
limt2tΔn(x1,,xn1,t;y1,,yn1,t)=Δn1(x1,,xn1;y1,,yn1)
となります.
また,limt2tFn(x1,,xn1,t;y1,,yn1,t)=Fn1(x1,,xn1;y1,,yn1)
であるので, Cn=Cn1 がわかり,C1=1 から Cn=1 となります.

仕上げ

上の結果から Δn(x1,,xn;x1,,xn)=1i<jn(xixj)21i,jn(xi+xj) となるので xi>0 のとき Δn0 となることがわかりました.
また,主小行列式はどれもΔk (k=1,,n1) の形をしているのでこれも非負であり,(i,j)成分が1xi+xj である行列が半正定値であることがわかりました.
よって,この行列から作られる二次形式は常に非負であり, i=1nj=1naiajxi+xj0
が証明できました.

投稿日:2022524
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