"幾何の視点"から不等式を見る

相加相乗調和平均は代表的な幾何的に考察できる不等式です.まずは,円を考えてみましょう.実際に図を描いてみると図1のようになります.(解説の最下部においておきます.)

$|CF|=a,|FD|=b$とすると,$左辺=|AE|$,$中辺=|FG|$,$右辺=|GH|$となります.

図と不等式の各辺の対応

1. 相加平均
   半径を表しているので,単純に直径$a+b$の半分$\frac{a+b}{2}$となります.

2. 相乗平均
   方冪の定理より,$中{辺}^2=ab$となって,$中辺=\sqrt{ab}$となります.

3. 調和平均
   三角形GFAと三角形GHFの相似に注目します.$\left|GH|:\left|GF|=|GF\right|:|GA\right|$となって,すでに$|GF|=\sqrt{ab},|GA|=\frac{a+b}{2}$が分かっているので,$|GH|=\frac{2ab}{a+b}$となります.

したがって図から,$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}$が成立するとわかります.

相加相乗調和平均

以下の図において,三角形ABCと三角形EDAは相似な三角形である.$|AB|:|BC|=x:y$,三角形ABCと三角形EDAの相似比を$a:b$とすると,
$$\begin{gathered} |BD|=ax+by \\ |CE|=\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \end{gathered}$$
ここで図より,明らかに$|CE|\ge |BD|$であるから題意は示された.

コーシーシュワルツの不等式-解答用

以下の図において,$|BE|=a,|CF|=b,|DG|=c$とする.この時の三角形の成立条件は$a,b,c$が正と同値である.また,三角形DBCの内接円の半径は$\sqrt{\frac{abc}{a+b+c}}$であり$a+b+c=abc$より内接円の半径は$1$となる.したがって,$|AB|=\sqrt{a^2+1}$,$|AC|=\sqrt{b^2+1}$,$|AD|=\sqrt{c^2+1}$となる.この時,$X=\mathrm{\angle }\mathrm{ABE}$,$Y=\mathrm{\angle }\mathrm{ACF}$,$Z=\mathrm{\angle }\mathrm{ADG}$とすると,不等式の左辺は$\cos X+\cos Y+\cos Z$となる.この時,$X+Y+Z=\frac{\pi }{2}$であることに注意せよ.$cos\theta$は$0<\theta <\frac{\pi }{2}$では上に凸なので
$$\cos X+\cos Y+\cos Z\le 3\cos \left(\frac{X+Y+Z}{3}\right)=3\cos \frac{\pi }{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
したがって,

$$\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

が得られて題意は示された.

問題3の不等式-解答用

$左辺>中辺$が成り立つことは
$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{3k}(\sqrt{{(2n-1)}^2+1}+\sqrt{{\left(2n\right)}^2+1})>\sum _{n=1}^{3k}\sqrt{{(4n-1)}^2+4}\end{array}$$
が成り立つことと同値である.したがって,$\sqrt{{(2n-1)}^2+1}+\sqrt{{\left(2n\right)}^2+1}>\sqrt{{(4n-1)}^2+4}$を示せば十分である.図10において,$|AB|=2n-1,|BE|=2n$とすると$|DG|=\sqrt{{(2n-1)}^2+1},|GJ|=\sqrt{{\left(2n\right)}^2+1},|DJ|=\sqrt{{(4n-1)}^2+4}$となる.三角不等式より,$|DG|+|GJ|>|DJ|$であるから$左辺>中辺$は示された.

$中辺>右辺$が成り立つことは
$$\sum _{n=1}^k(\sqrt{{(4(3n-2)-1)}^2+4}+\sqrt{{(4(3n-1)-1)}^2+4}+\sqrt{{(4\left(3n\right)-1)}^2+4})>\sum _{n=1}^k\sqrt{36+{(36n-15)}^2}$$
が成り立つことと同値である.したがって,$\sqrt{{(12n-9)}^2+4}+\sqrt{{(12n-5)}^2+4}+\sqrt{{(12n-1)}^2+4}>3\sqrt{{(12n-5)}^2+4}$を示せば十分である.図11においても$左辺>右辺$の証明と同様に考えると
$(中辺)=|DG|+|GJ|+|JM|+|MP|+|PS|+|SV|$,$(右辺)=|DV|$
となって,三角不等式より$中辺>右辺$が示された.

したがって,題意は示された.

問題4の不等式-解答用

問題4の不等式-解答用

$左辺>中辺$が成り立つことは
$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{3k}(\sqrt{{(2n-1)}^2+1}+\sqrt{{\left(2n\right)}^2+1})>\sum _{n=1}^{3k}\sqrt{{(4n-1)}^2+4}\end{array}$$
が成り立つことと同値である.したがって,$\sqrt{{(2n-1)}^2+1}+\sqrt{{\left(2n\right)}^2+1}>\sqrt{{(4n-1)}^2+4}$を示せば十分である.

$$\begin{gathered} \sqrt{{(2n-1)}^2+1}+\sqrt{{\left(2n\right)}^2+1}>\sqrt{{(4n-1)}^2+4} \\ ⟺({(2n-1)}^2+1)+2\sqrt{({(2n-1)}^2+1)({\left(2n\right)}^2+1)}+({\left(2n\right)}^2+1)>{(4n-1)}^2+4 \\ ⟺\sqrt{({(2n-1)}^2+1)({\left(2n\right)}^2+1)}>4n^2-2n+1 \\ ⟺({(2n-1)}^2+1)({\left(2n\right)}^2+1)>{(4n^2-2k+1)}^2 \\ ⟺16n^4-16n^3+12n^2-4n+2>16n^4-16n^3+12n^2-4n+1 \\ ⟺2>1 \end{gathered}$$
より,$2>1$は明らかに成立するので$左辺>中辺$が示された.
$$

$中辺>右辺$が成り立つことは
$$\sum _{n=1}^k(\sqrt{{(4(3n-2)-1)}^2+4}+\sqrt{{(4(3n-1)-1)}^2+4}+\sqrt{{(4\left(3n\right)-1)}^2+4})>\sum _{n=1}^k\sqrt{36+{(36n-15)}^2}$$
が成り立つことと同値である.したがって,$\sqrt{{(4(3n-2)-1)}^2+4}+\sqrt{{(4(3n-1)-1)}^2+4}+\sqrt{{(4\left(3n\right)-1)}^2+4}>\sqrt{36+{(36n-15)}^2}$を示せば十分である.

$$\begin{gathered} \sqrt{{(4(3n-2)-1)}^2+4}+\sqrt{{(4(3n-1)-1)}^2+4}+\sqrt{{(4\left(3n\right)-1)}^2+4}>\sqrt{36+{(36n-15)}^2} \\ ⟺\sqrt{{(12n-9)}^2+4}+\sqrt{{(12n-5)}^2+4}+\sqrt{{(12n-1)}^2+4}>3\sqrt{{(12n-5)}^2+4} \\ ⟺\sqrt{{(12n-9)}^2+4}+\sqrt{{(12n-1)}^2+4}>2\sqrt{{(12n-5)}^2+4} \\ ⟺({(12n-9)}^2+4)+2\sqrt{({(12n-9)}^2+4)({(12n-1)}^2+4)}+({(12n-1)}^2+4)>4({(12n-5)}^2+4) \\ ⟺\sqrt{(144n^2-216n+85)(144n^2-24n+5)}>144n^2-120n+13 \\ ⟺{144}^2{n}^4-240\cdot 144n^3+126\cdot 144n^2-120\cdot 26n+425>{144}^2{n}^4-240\cdot 144n^3+126\cdot 144n^2-120\cdot 26n+169 \\ ⟺425>169 \end{gathered}$$
より,$425>169$は明らかに成立するから$中辺>右辺$が示された.
これより,$左辺>中辺>右辺$が示された.

図12において,$A_n=(\frac{n(n-1)}{2},\frac{n(n+1)}{2}-1)$とすると,
$$\begin{gathered} (左辺)=\sum _{n=1}^k\left|A_n{A}_{n+1}\right| \\ (右辺)=\left|A_1{A}_{k+1}\right| \end{gathered}$$
$k\ge 2$の時,三角不等式を繰り返し用いることによって$左辺>右辺$となる.$k=1$の時,$左辺=右辺$となる.したがって,題意は示された.

問題5の不等式-解答用