"幾何の視点"から不等式を見る

相加相乗調和平均は代表的な幾何的に考察できる不等式です.まずは,円を考えてみましょう.実際に図を描いてみると図1のようになります.(解説の最下部においておきます.)

$|CF|=a,|FD|=b$とすると,$左辺 = |AE|$,$中辺 = |FG|$,$右辺 = |GH|$となります.

図と不等式の各辺の対応

1. 相加平均
   半径を表しているので,単純に直径$a+b$の半分${\frac{a+b}{2}}$となります.

2. 相乗平均
   方冪の定理より,$中辺^2=ab$となって,$中辺= \sqrt{ab}$となります.

3. 調和平均
   三角形GFAと三角形GHFの相似に注目します.$\left|GH\left|:\left|GF\left|=\right|GF\right|:\right|GA\right|$となって,すでに$|GF|=\sqrt{ab},|GA|=\frac{a+b}{2}$が分かっているので,$|GH|=\frac{2ab}{a+b}$となります.

したがって図から,$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ge\frac{2ab}{a+b}$が成立するとわかります.

相加相乗調和平均

以下の図において,三角形ABCと三角形EDAは相似な三角形である.$|AB|:|BC|=x:y$,三角形ABCと三角形EDAの相似比を$a:b$とすると,
$$ |BD|=ax+by \\ |CE|=\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)} $$
ここで図より,明らかに$|CE| \geq|BD|$であるから題意は示された.

コーシーシュワルツの不等式-解答用

以下の図において,$|BE|=a, |CF|=b, |DG|=c$とする.この時の三角形の成立条件は$a,b,c$が正と同値である.また,三角形DBCの内接円の半径は$\sqrt{\frac{abc}{a+b+c}}$であり$a+b+c=abc$より内接円の半径は$1$となる.したがって,$|AB|=\sqrt{a^{2}+1}$,$|AC|=\sqrt{b^{2}+1}$,$|AD|=\sqrt{c^{2}+1}$となる.この時,$X=\angle\mathrm{ABE}$,$Y=\angle\mathrm{ACF}$,$Z=\angle\mathrm{ADG}$とすると,不等式の左辺は$\cos X+\cos Y+\cos Z$となる.この時,$X+Y+Z=\frac{\pi}{2}$であることに注意せよ.$cos \theta$は$0<\theta<\frac{\pi}{2}$では上に凸なので
$$\cos X+\cos Y+\cos Z\le3\cos\left(\frac{X+Y+Z}{3}\right)\ =3\cos\frac{\pi}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
したがって,

$$ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\le\frac{3\sqrt{3}}{2} $$

が得られて題意は示された.

問題3の不等式-解答用

$左辺>中辺$が成り立つことは
$$ \begin{align} \sum_{n=1}^{3k}\left(\sqrt{\left(2n-1\right)^{2}+1}+\sqrt{\left(2n\right)^{2}+1}\right)>\sum_{n=1}^{3k}\sqrt{\left(4n-1\right)^{2}+4} \end{align} $$
が成り立つことと同値である.したがって,$\sqrt{\left(2n-1\right)^{2}+1}+\sqrt{\left(2n\right)^{2}+1}>\sqrt{\left(4n-1\right)^{2}+4}$を示せば十分である.図10において,$|AB|=2n-1,|BE|=2n$とすると$|DG|=\sqrt{\left(2n-1\right)^{2}+1},|GJ|=\sqrt{\left(2n\right)^{2}+1},|DJ|=\sqrt{\left(4n-1\right)^{2}+4}$となる.三角不等式より,$|DG|+|GJ|>|DJ|$であるから$左辺 > 中辺$は示された.

$ $

$中辺 > 右辺$が成り立つことは
$$ \sum_{n=1}^{k}\left(\sqrt{\left(4\left(3n-2\right)-1\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(4\left(3n-1\right)-1\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(4\left(3n\right)-1\right)^{2}+4}\right)>\sum_{n=1}^{k}\sqrt{36+\left(36n-15\right)^{2}} $$
が成り立つことと同値である.したがって,$\sqrt{\left(12n-9\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(12n-5\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(12n-1\right)^{2}+4}>3\sqrt{\left(12n-5\right)^{2}+4}$を示せば十分である.図11においても$左辺>右辺$の証明と同様に考えると
$(中辺)=|DG|+|GJ|+|JM|+|MP|+|PS|+|SV|$,$(右辺)=|DV|$
となって,三角不等式より$中辺 > 右辺$が示された.

したがって,題意は示された.

問題4の不等式-解答用

問題4の不等式-解答用

$左辺>中辺$が成り立つことは
$$ \begin{align} \sum_{n=1}^{3k}\left(\sqrt{\left(2n-1\right)^{2}+1}+\sqrt{\left(2n\right)^{2}+1}\right)>\sum_{n=1}^{3k}\sqrt{\left(4n-1\right)^{2}+4} \end{align} $$
が成り立つことと同値である.したがって,$\sqrt{\left(2n-1\right)^{2}+1}+\sqrt{\left(2n\right)^{2}+1}>\sqrt{\left(4n-1\right)^{2}+4}$を示せば十分である.

$$ \ \ \ \ \ \ \ \sqrt{\left(2n-1\right)^{2}+1}+\sqrt{\left(2n\right)^{2}+1}>\sqrt{\left(4n-1\right)^{2}+4} \\ \Longleftrightarrow \left(\left(2n-1\right)^{2}+1\right)+2\sqrt{\left(\left(2n-1\right)^{2}+1\right)\left(\left(2n\right)^{2}+1\right)}+\left(\left(2n\right)^{2}+1\right)>\left(4n-1\right)^{2}+4 \\ \Longleftrightarrow\sqrt{\left(\left(2n-1\right)^{2}+1\right)\left(\left(2n\right)^{2}+1\right)}>4n^{2}-2n+1 \\ \Longleftrightarrow\left(\left(2n-1\right)^{2}+1\right)\left(\left(2n\right)^{2}+1\right)>\left(4n^{2}-2k+1\right)^{2} \\ \Longleftrightarrow16n^{4}-16n^{3}+12n^{2}-4n+2>16n^{4}-16n^{3}+12n^{2}-4n+1 \\ \Longleftrightarrow 2>1 $$
より,$2>1$は明らかに成立するので$左辺 > 中辺$が示された.
$ $

$中辺 > 右辺$が成り立つことは
$$ \sum_{n=1}^{k}\left(\sqrt{\left(4\left(3n-2\right)-1\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(4\left(3n-1\right)-1\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(4\left(3n\right)-1\right)^{2}+4}\right)>\sum_{n=1}^{k}\sqrt{36+\left(36n-15\right)^{2}} $$
が成り立つことと同値である.したがって,$\sqrt{\left(4\left(3n-2\right)-1\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(4\left(3n-1\right)-1\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(4\left(3n\right)-1\right)^{2}+4}>\sqrt{36+\left(36n-15\right)^{2}}$を示せば十分である.

$$ \ \ \ \ \ \ \ \sqrt{\left(4\left(3n-2\right)-1\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(4\left(3n-1\right)-1\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(4\left(3n\right)-1\right)^{2}+4}>\sqrt{36+\left(36n-15\right)^{2}} \\ \Longleftrightarrow\sqrt{\left(12n-9\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(12n-5\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(12n-1\right)^{2}+4}>3\sqrt{\left(12n-5\right)^{2}+4} \\ \Longleftrightarrow\sqrt{\left(12n-9\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(12n-1\right)^{2}+4}>2\sqrt{\left(12n-5\right)^{2}+4} \\ \Longleftrightarrow\left(\left(12n-9\right)^{2}+4\right)+2\sqrt{\left(\left(12n-9\right)^{2}+4\right)\left(\left(12n-1\right)^{2}+4\right)}+\left(\left(12n-1\right)^{2}+4\right)>4\left(\left(12n-5\right)^{2}+4\right) \\ \Longleftrightarrow\sqrt{\left(144n^{2}-216n+85\right)\left(144n^{2}-24n+5\right)}>144n^{2}-120n+13 \\ \Longleftrightarrow144^{2}n^{4}-240\cdot144n^{3}+126\cdot144n^{2}-120\cdot26n+425>144^{2}n^{4}-240\cdot144n^{3}+126\cdot144n^{2}-120\cdot26n+169\\ \Longleftrightarrow 425>169 $$
より,$425>169$は明らかに成立するから$中辺 > 右辺$が示された.
これより,$左辺 > 中辺 > 右辺$が示された.

図12において,$A_{n}=(\frac{n\left(n-1\right)}{2},\frac{n\left(n+1\right)}{2}-1)$とすると,
$$ (左辺)=\sum_{n=1}^{k}\left|A_{n}A_{n+1}\right| \\ (右辺)=\left|A_{1}A_{k+1}\right| $$
$k \geq 2$の時,三角不等式を繰り返し用いることによって$左辺 > 右辺$となる.$k=1$の時,$左辺 = 右辺$となる.したがって,題意は示された.

問題5の不等式-解答用