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高校数学解説
積分から有限和の等式を得る
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$$\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{dep}[0]{{\rm dep}}
\newcommand{ds}[0]{\displaystyle}
\newcommand{Li}[0]{{\rm Li}}
\newcommand{mi}[2]{\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}}
\newcommand{n}[0]{\varnothing}
\newcommand{ol}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{R}[0]{{\cal R}}
\newcommand{sh}[0]{ш}
$$
これ です。Kawashima関数の有限和バージョンっぽい何かです。
$$\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}\binom{n}{k}=\frac{H_{n+1}}{n+1}$$
$$\int_0^1x^n\ln xdx=-\frac{1}{(n+1)^2}$$
折りたたみ
\begin{align} \int_0^1x^n\ln xdx&=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x\right]_0^1-\int_0^1\frac{x^n}{n+1}dx \\ &=\bm{-\frac{1}{(n+1)^2}} \end{align}
$$\int_0^1x^n\ln(1-x)dx=-\frac{H_{n+1}}{n+1}$$
折りたたみ
\begin{align} \int_0^1x^n\ln(1-x)dx&=-\int_0^1x^n\sum_{0< k}\frac{x^k}{k}dx \\ &=-\int_0^1\sum_{0< k}\frac{x^{k+n}}{k}dx \\ &=-\sum_{0< k}\frac{1}{k(k+n+1)} \\ &=-\sum_{0< k}\frac{1}{n+1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n+1}\right) \\ &=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k} \\ &=\bm{-\frac{H_{n+1}}{n+1}} \end{align}
上の結果から、
\begin{align}
\int_0^1x^n\ln(1-x)dx&=\int_0^1(1-x)^n\ln xdx \\
&=\int_0^1\sum_{0\leq k\leq n}(-1)^k\binom{n}{k}x^k\ln xdx \\
&=\sum_{0\leq k\leq n}(-1)^k\binom{n}{k}\int_0^1x^k\ln xdx \\
&=-\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}\binom{n}{k} \\
&=-\frac{H_{n+1}}{n+1}
\end{align}
つまり$\ds\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}\binom{n}{k}=\frac{H_{n+1}}{n+1}$である。
投稿日：2022年5月28日
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