[これ](https://twitter.com/iida_256/status/1530541038053789697)です。Kawashima関数の有限和バージョンっぽい何かです。

&&&thm 
$$\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}\binom{n}{k}=\frac{H_{n+1}}{n+1}$$
&&&

&&&lem 
$$\int_0^1x^n\ln xdx=-\frac{1}{(n+1)^2}$$
&&&

&&&prf 
<details><summary>折りたたみ</summary>
\begin{align}
\int_0^1x^n\ln xdx&=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x\right]_0^1-\int_0^1\frac{x^n}{n+1}dx \\
&=\bm{-\frac{1}{(n+1)^2}}
\end{align}
</details>
&&&

&&&lem 
$$\int_0^1x^n\ln(1-x)dx=-\frac{H_{n+1}}{n+1}$$
&&&

&&&prf 
<details><summary>折りたたみ</summary>
\begin{align}
\int_0^1x^n\ln(1-x)dx&=-\int_0^1x^n\sum_{0<k}\frac{x^k}{k}dx \\
&=-\int_0^1\sum_{0<k}\frac{x^{k+n}}{k}dx \\
&=-\sum_{0<k}\frac{1}{k(k+n+1)} \\
&=-\sum_{0<k}\frac{1}{n+1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n+1}\right) \\
&=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k} \\
&=\bm{-\frac{H_{n+1}}{n+1}}
\end{align}
</details>
&&&
上の結果から、
\begin{align}
\int_0^1x^n\ln(1-x)dx&=\int_0^1(1-x)^n\ln xdx \\
&=\int_0^1\sum_{0\leq k\leq n}(-1)^k\binom{n}{k}x^k\ln xdx \\
&=\sum_{0\leq k\leq n}(-1)^k\binom{n}{k}\int_0^1x^k\ln xdx \\
&=-\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}\binom{n}{k} \\
&=-\frac{H_{n+1}}{n+1}
\end{align}
つまり$\ds\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}\binom{n}{k}=\frac{H_{n+1}}{n+1}$である。



積分から有限和の等式を得る

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