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解説高校数学

積分から有限和の等式を得る

有限和,積分
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$$\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} \newcommand{dep}[0]{{\rm dep}} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{Li}[0]{{\rm Li}} \newcommand{mi}[2]{\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}} \newcommand{n}[0]{\varnothing} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{R}[0]{{\cal R}} \newcommand{sh}[0]{ш} $$

これ です。Kawashima関数の有限和バージョンっぽい何かです。

$$\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}\binom{n}{k}=\frac{H_{n+1}}{n+1}$$

$$\int_0^1x^n\ln xdx=-\frac{1}{(n+1)^2}$$

折りたたみ
\begin{align} \int_0^1x^n\ln xdx&=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x\right]_0^1-\int_0^1\frac{x^n}{n+1}dx \\ &=\bm{-\frac{1}{(n+1)^2}} \end{align}

$$\int_0^1x^n\ln(1-x)dx=-\frac{H_{n+1}}{n+1}$$

折りたたみ
\begin{align} \int_0^1x^n\ln(1-x)dx&=-\int_0^1x^n\sum_{0< k}\frac{x^k}{k}dx \\ &=-\int_0^1\sum_{0< k}\frac{x^{k+n}}{k}dx \\ &=-\sum_{0< k}\frac{1}{k(k+n+1)} \\ &=-\sum_{0< k}\frac{1}{n+1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n+1}\right) \\ &=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k} \\ &=\bm{-\frac{H_{n+1}}{n+1}} \end{align}

上の結果から、
\begin{align} \int_0^1x^n\ln(1-x)dx&=\int_0^1(1-x)^n\ln xdx \\ &=\int_0^1\sum_{0\leq k\leq n}(-1)^k\binom{n}{k}x^k\ln xdx \\ &=\sum_{0\leq k\leq n}(-1)^k\binom{n}{k}\int_0^1x^k\ln xdx \\ &=-\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}\binom{n}{k} \\ &=-\frac{H_{n+1}}{n+1} \end{align}
つまり$\ds\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}\binom{n}{k}=\frac{H_{n+1}}{n+1}$である。

投稿日：2022年5月28日

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割り算が苦手です

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