高校数学解説

斉次式化でとける問題

数学オリンピック,不等式

1462

はじめに

こんにちは.今回は問題を解くだけです.基本的な考え方です.

斉次式については, 不等式証明のコツ２：斉次式化をみると良いです.
わかりやすくまとまっています.

紹介する問題は,斉次式化が本質でない解き方をしているものもあります.
そういうものは,解答の見通しがよくなるという利点があります.

問題

@I_______nu

$a, b, c > 0, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ .このとき,以下の最小値の求めよ：
$a + b + c^{2}$

出典はこちら .

解答

a + b + c^{2} = (a + b + c^{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 3 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{2 c^{2}}{a b} + \frac{2 c}{a} + \frac{c^{2}}{b^{2}} + \frac{2 c}{b} = 3 + 4 \cdot \frac{a}{4 b} + 8 \cdot \frac{a}{8 c} + 4 \cdot \frac{b}{4 a} + 8 \cdot \frac{b}{8 c} + \frac{c^{2}}{a^{2}} + 2 \cdot \frac{2 c^{2}}{2 a b} + 4 \cdot \frac{2 c}{4 a} + \frac{c^{2}}{b^{2}} + 4 \cdot \frac{2 c}{4 b} \geq 3 + 36 \sqrt[36]{(\frac{a}{4 b})^{4} \cdot (\frac{a}{8 c})^{8} \cdot {(\frac{b}{4 a})}^{4} \cdot {(\frac{b}{8 c})}^{8} \cdot \frac{c^{2}}{a^{2}} \cdot {(\frac{2 c^{2}}{2 a b})}^{2} \cdot {(\frac{2 c}{4 a})}^{4} \cdot \frac{c^{2}}{b^{2}} \cdot {(\frac{2 c}{4 b})}^{4}} (∵ Wegihted AMGM) = 12

等号は

a = b = 4, c = 2

で成立する.よって,求める最小値は

12

である.

IMO 1984 1

$x, y, z \geq 0, x + y + z = 1$ .このとき,以下の不等式を示せ：
$0 \leq x y + y z + z x - 2 x y z \leq \frac{7}{27}$

出典はこちら .

解答

左2つ：

\begin{aligned} 0 \leq x y + y z + z x - 2 x y z \\ \Leftrightarrow 0 \leq (x + y + z) (x y + y z + z x) - 2 x y z \\ \Leftrightarrow 0 \leq \sum_{sym} x^{2} y + x y z \end{aligned}

これは,明らか.
右2つ：

\begin{aligned} x y + y z + z x - 2 x y z \leq \frac{7}{27} \\ \Leftrightarrow (x + y + z) (x y + y z + z x) - 2 x y z \leq \frac{7}{27} (x + y + z)^{3} \\ \Leftrightarrow 27 \sum_{sym} x^{2} y + 27 x y z \leq 7 \sum_{cyc} x^{3} + 21 \sum_{sym} x^{2} y + 42 x y z \\ \Leftrightarrow 5 \sum_{sym} x^{2} y + \sum_{sym} x^{2} y \leq 5 \sum_{cyc} x^{3} + 15 x y z + \sum_{sym} x^{3} \end{aligned}

ここで,

(3, 0, 0) ≻ (2, 1, 0)

よりMuirheadの不等式より,

\sum_{sym} x^{2} y \leq \sum_{sym} x^{3}

が成り立ち,また,Schurの不等式より,

\sum_{sym} x^{2} y \leq \sum_{cyc} x^{3} + 3 x y z

が成り立つ.よって,与えられた不等式は示された.

Greece TST 2018

$x, y, z > 0, x + y + z = 9 x y z$ .このとき,以下の不等式を示せ：
$\sum_{cyc} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 y z + 2}} \geq 1$

出典はこちら .

解答

Hölderの不等式より,

{(\sum_{cyc} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2 y z + 2}})}^{2} (\sum_{cyc} x (x^{2} + 2 y z + 2)) \geq {(x + y + z)}^{3}

が成り立ち,

\sum_{cyc} x (x^{2} + 2 y z + 2) \leq {(x + y + z)}^{3}

を示せばいい.

\sum_{cyc} x (x^{2} + 2 y z + 2) \leq {(x + y + z)}^{3} \Leftrightarrow \sum_{cyc} x (x^{2} + 2 y z + \frac{18 x y z}{x + y + z}) \leq {(x + y + z)}^{3} \Leftrightarrow \sum_{cyc} x (x^{2} (x + y + z) + 2 y z (x + y + z) + 18 x y z) \leq (x + y + z)^{4} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sum_{sym} x^{4} + \sum_{sym} x^{3} y + 12 \sum_{sym} x^{2} y z \leq \frac{1}{2} \sum_{sym} x^{4} + 4 \sum_{sym} x^{3} y + 3 \sum_{sym} x^{2} y^{2} + 6 \sum_{sym} x^{2} y z \Leftrightarrow 2 \sum_{sym} x^{2} y z \leq \sum_{sym} x^{3} y + \sum_{sym} x^{2} y^{2}

(3, 1, 0), (2, 2, 0) ≻ (2, 1, 1)

であるから,Muirheadの不等式により最後の式は示される.

ELMO 2013 A2

$a, b, c > 0$ .このとき,以下の不等式を示せ：
$\sum_{cyc} \frac{1}{a + \frac{1}{b} + 1} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{a b c} + \frac{1}{\sqrt[3]{a b c}} + 1}$

出典はこちら .

解答

a b c = r^{3}

とおいて,すべての

r > 0

で不等式を示せばよく,

a = \frac{r x}{y}, b = \frac{r y}{z}, c = \frac{r z}{x}

とおけば,

\sum_{cyc} \frac{y}{r^{2} x + r y + z} \geq \frac{3}{r^{2} + r + 1}

を示せばいい.

\begin{aligned} \sum_{cyc} \frac{y}{r^{2} x + r y + z} \\ = \sum_{cyc} \frac{y^{2}}{r^{2} x y + r y^{2} + y z} \\ \geq \frac{(x + y + z)^{2}}{r (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + (r^{2} + 1) (x y + y z + z x)} (∵ {Titu}^{'} s Lemma) \end{aligned}

より,あとは,

\frac{(x + y + z)^{2}}{r (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + (r^{2} + 1) (x y + y z + z x)} \geq \frac{3}{r^{2} + r + 1}

を示せばよく,整理すると,

(r - 1)^{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x) \geq 0

であり,有名不等式：

x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x

より,最後の不等式は示される.

2009 ISL A2

$a, b, c > 0, a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ .このとき,以下の不等式を示せ：
$\sum_{cyc} \frac{1}{(2 a + b + c)^{2}} \geq \frac{3}{16}$

出典はこちら .

解答

\begin{array}{r} \sum_{cyc} \frac{1}{(2 a + b + c)^{2}} \geq \frac{3}{16} \cdot \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{a + b + c} \end{array}

を示せばよく,これは斉次であるから

a + b + c = 1

の下これを示せばいい.変形すると,

\sum_{cyc} (\frac{1}{(a + 1)^{2}} - \frac{3}{16 a}) \geq 0

となり,

f (a) = \frac{1}{(a + 1)^{2}} - \frac{3}{16 a}

とおくと,

f^{″} (a) = \frac{6}{(a + 1)^{4}} \geq 0

であるから,Jensenの不等式より,

\sum_{cyc} f (a) \geq 3 f (\frac{a + b + c}{3}) = 0

が成り立ち,最後の不等式は示された.

a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}

から

a + b + c = 1

に制約条件を変える時に,斉次式化をしていることがカギになっています.
この考え方はたまに使えます.
以下の一問がその例です.

1990 ILL 88

$x, y, z, w \geq 0, x y + y z + z w + w x = 1$ .このとき,以下の不等式を示せ：
$\sum_{cyc} \frac{x^{3}}{y + z + w} \geq \frac{1}{3}$

出典はこちら .

解答

\sum_{cyc} \frac{x^{3}}{y + z + w} \geq \frac{x y + y z + z w + w x}{3}

を示せばよく,これは斉次であるから

x + y + z + w = 1

の下これを示せばいい.

x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} \geq x y + y z + z w + w x \Leftrightarrow (x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - w)^{2} + (w - x)^{2} \geq 0

より,

\sum_{cyc} (\frac{x^{3}}{1 - x} - \frac{x^{2}}{3}) \geq 0

を示せばいい.ここで,

\frac{x^{3}}{1 - x} - \frac{x^{2}}{3} \geq \frac{1}{9} (x - \frac{1}{4}) \Leftrightarrow \frac{(3 x + 1) (4 x - 1)^{2}}{36 (1 - x)} \geq 0

であるから,

\sum_{cyc} (\frac{x^{3}}{1 - x} - \frac{x^{2}}{3}) \geq \sum_{cyc} \frac{1}{9} (x - \frac{1}{4}) = 0

となり与えられた不等式は示された.

B&H

$a, b, c > 0, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ .このとき,以下の不等式を示せ：
$\sum_{cyc} \frac{a^{2}}{1 + 2 b c} \geq \frac{3}{5}$

出典はこちら .

解答

\sum_{cyc} \frac{a^{2}}{a^{2} + (b + c)^{2}} \geq \frac{3}{5}

を示せばいい.

\begin{aligned} \sum_{cyc} \frac{a^{2}}{a^{2} + (b + c)^{2}} \\ = \sum_{cyc} \frac{a^{4}}{a^{4} + a^{2} (b + c)^{2}} \\ \geq \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}{a^{4} + b^{4} + c^{4} + 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) + 2 (a^{2} b c + a b^{2} c + a b c^{2})} \end{aligned}

より,

\frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}{a^{4} + b^{4} + c^{4} + 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) + 2 (a^{2} b c + a b^{2} c + a b c^{2})} \geq \frac{3}{5}

を示せばいい.変形すると,

\sum_{sym} a^{4} + 2 \sum_{sym} a^{2} b^{2} \geq \sum_{sym} a^{2} b c

となり,

(4, 0, 0), (2, 2, 0) ≻ (2, 1, 1)

よりMuirheadの不等式により最後の不等式は示される.

2009 ISL A4

$a, b, c > 0, a b + b c + c a \leq 3 a b c$ .このとき,以下の不等式を示せ：
$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}} + 3 \leq \sqrt{2} \sum_{cyc} \sqrt{a + b}$

出典はこちら .

解答

\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}} + 3 \sqrt{\frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}} \leq \sqrt{2} \sum_{cyc} \sqrt{a + b}

を示せばいい.

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

とおくと,

f^{″} (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}} > 0

であるから凸である.よって,Jensenの不等式より,

\begin{aligned} 3 f (\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}) \leq f (\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2}) + f (\frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{2}) + f (\frac{\frac{1}{c} + \frac{1}{a}}{2}) \\ \Leftrightarrow 3 \sqrt{\frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}} \leq \sum_{cyc} \sqrt{\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}} \\ \Leftrightarrow 3 \sqrt{\frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}} \leq \sum_{cyc} \sqrt{\frac{2 a b}{a + b}} \end{aligned}

が成り立つため,

\sum_{cyc} (\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}} + \sqrt{\frac{2 a b}{a + b}}) \leq \sqrt{2} \sum_{cyc} \sqrt{a + b}

を示せばいい.ここで,

\sqrt{x}

の凹性より,

\begin{aligned} a + b = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b} \geq \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{2 a b}) \\ \Leftrightarrow \sqrt{2} \sqrt{a + b} \geq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}} + \sqrt{\frac{2 a b}{a + b}} \end{aligned}

が成り立つため,与えられた不等式は示された.

おわりに

あ

投稿日：2022年5月30日

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