近年の東大入試の二項係数を少し変わった考え方で解いてみる

では,解いていきましょう.$(x+1)^{2022}$を$5$で割った余りを考えます.以下では$x$は整数とし,合同式は全て$5$を法とします.

$$ \begin{align*} (x+1)^5 & \equiv x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1 \\ & \equiv x^5+1 \cdots① \end{align*} $$

①より,

$$ \begin{align*} (x+1)^{5^k} & \equiv x^{5^k}+1 \cdots② \end{align*} $$

$2022_{(10)}=31042_{(5)}$であるから,②より,$(x+1)^{2022}$を$5$で割った余りは以下のように表現できますね.

$$ \begin{align*} (x+1)^{2022} & \equiv \left(x^{5^4}+1\right)^{3}\left(x^{5^3}+1\right)\left(x^{5^1}+1\right)^{4}\left(x^{5^0}+1\right)^{2} \\ & \equiv \left(x^{625}+1\right)^{3}\left(x^{125}+1\right)\left(x^{5}+1\right)^{4}\left(x+1\right)^{2} \cdots③ \end{align*} $$

このように表現できることで考察がしやすくなります.元々は,
$$ (x+1)^{2022}=(x+1)(x+1)(x+1) \cdots (x+1) $$
の$2022$個の掛け算だったのに対して,③では$10$個の掛け算に減らすことができました.

ここで気づきたいのが,③の式を展開した時に係数が$5$の倍数となるような項は存在しないということです.$x^{625}=x_4,x^{125}=x_3,x^{25}=x_2,x^{5}=x_1,x^1=x_0$とすると,③は以下のように表せますね.

$$ \begin{align*} \left(x^{625}+1\right)^{3}\left(x^{125}+1\right)\left(x^{5}+1\right)^{4}\left(x+1\right)^{2} & \equiv (x_{4}+1)^3(x_{3}+1)(x_{1}+1)^4(x_{0}+1)^2 \\ & \equiv ({x_{4}}^3+3{x_{4}}^2+3{x_{4}}+1)(x_{3}+1)({x_{1}}^4+4{x_{1}}^3+6{x_{1}}^2+4{x_{1}}+1)({x_{0}}^2+2{x_{0}}+1) \cdots④ \end{align*} $$
④はどの項にも$5$の倍数を含んでいないので展開しても$5$の倍数を含む項は存在しないですね.したがって,④の形で表現される項は$5$の倍数を含まないものです.逆にそれ以外は$5$で割り切れるような数になってしまいますね.$5$の倍数とならないような$n$は$4\times 2\times 1\times 5\times 3=120$となって$120$個存在します.

したがって、求める$n$は$2022-120=1902$となって$1902$個です.

二項定理より
$$ \begin{align*} (x+1)^p & =_{p}C_{0}\cdot x^{p}+_{p}C_{1}\cdot x^{p-1}+\cdots+_{p}C_{p-1}\cdot x^{1}+_{p}C_{p}\cdot x^{0} \\ \end{align*} $$
となる.補題3より,素数$p$と正整数$n$($1 \leq n \leq p-1$)を用いて$_{p}C_{n}$と表される数は$p$の倍数であるから,
$$ (x+1)^p \equiv x^p+1 $$
が得られる.題意は示された.

定理1を複数回適用することで,定理2は容易に得られる.

$p$を素数,$n$を$0 < n < p$なる正整数とする.この時,$_{p}C_{n}$は以下のように表される.

$$ _{p}C_{n}=\frac{p!}{n!\left(p-n\right)!} $$
この時,分母と分子の素因数${p}$の個数に注目すると,分子は${p}$を一つ含んでいるが,分母は${n}$が${p}$未満であることから素因数${p}$を一つも含んでいないことがわかる.よって,${_{p}C_{n}}$は${p}$の倍数である.題意は示された.