数オリっぽい三角関数の不等式

$$ \begin{align*} \tan A & = -\tan (\pi -A) \\ & =-tan(B+C) \\ & =-\frac{\tan B+\tan C}{1-\tan B\tan C} \\ \end{align*} $$
両辺に$1-\tan B\tan C$をかけることで,
$$ \ \ \ \ \ \ \ tan A\left(1-\tan B\tan C\right)=-(\tan B+\tan C) \\ \Longleftrightarrow\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C $$
したがって,題意は示された.

まずは,評価しやすい形に落とし込んでいきましょう.

$$ \begin{align*} \sum_{cyc}^{ }\sin A\cos B\cos C & = \sin A\cos B\cos C+\sin B\cos C\cos A+\sin C\cos A\cos B \\ & =( \sin A\cos B\cos C+\sin B\cos C\cos A+\sin C\cos A\cos B)\cdot\frac{\cos A\cos B\cos C}{\cos A\cos B\cos C} \\ & = \cos A\cos B\cos C\left(\tan A+\tan B+\tan C\right) \\ & = \cos A\cos B\cos C\cdot\tan A\tan B\tan C \\ & = \sin A\sin B\sin C \end{align*} $$

ここでのポイントは$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$の関係式を利用したことです.これで,簡単な$\sin A\sin B\sin C$という形の最大値を考える問題に帰着させることができました.実はこの式の最大値は微分を使わずに求めることができます.見ていきましょう.

まず,三つのsinのみの対称な不等式ということでできればイェンゼンの不等式を使いたいという発想が浮かびます.さらに三つの積ということで相加相乗平均も使えそうだなと考えるわけです.イェンゼンを使うには和の形で表す必要があります.したがって,まずは相加相乗平均を考えましょう.

$$ \frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\ge\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C} $$

両辺を三乗すると,

$$ \left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\right)^{3}\ge\sin A\sin B\sin C $$

等号成立は,$A=B=C=\frac{\pi}{3}$の時ですね.では,左辺をイェンゼンの不等式を用いて左辺を評価していきましょう.$sinX$は$0< X<\pi$で上に凸だから

$$ \left(\frac{3\sin\frac{A+B+C}{3}}{3}\right)^{3}\ge\left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\right)^{3} $$

が成立する.これを整理すると,

$$ \frac{3\sqrt{3}}{8}\ge\left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\right)^{3}\ge\sin A\sin B\sin C=\sum_{cyc}^{ }\sin A\cos B\cos C $$

この時,全ての不等号について等号成立条件は$A=B=C=\frac{\pi}{3}$で一致しているため題意は示されましたね.必ず,等号成立条件が一致していることを確認しましょう.