たすきがけを使わない新しい因数分解（基礎編）

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たすきがけは難しいのか？

たすきがけ

$a, b, c, d$ が全て整数かつ $a c \neq 0$ の２次方程式を因数分解する手法のうち、
$(a x + b) (c x + d) = A x^{2} + B x + C$ において、 $A = a c, C = b d, B = a d + b c$ であることを利用して、
下図のように $A$ と $C$ の約数の組み合わせから $B$ の値を復元することにより、
$a, b, c, d$ の組み合わせを探索する方法をたすきがけと呼ぶ。

たすきがけ概念図

学生に対して、指導を行う際に「たすきがけ」を取り組ませた場合に、
僅かな訓練で達成できる人と、十分な時間を割いても難しいままで終わる人に分かれる。
これを考察した結果、私としては、現在のたすきがけ法には以下の難点があると考えた。

・問題点１
　 $A$ や $C$ をそれぞれ、２つの約数の積に分解する際に数的処理能力を求められる。
・問題点２
　分解した約数を $B$ に復元する際における $a, b, c, d$ の配置にある程度の数的センスが求めれれる。
・問題点３
　たすきがけの課程で、四則演算を複数回かつ複雑に処理する能力が求められること。

そこで、今回は「たすきがけ」とは視点を変えた独自考案の因数分解法について述べていきたい。

和差積探索法

まずは、「たすきがけ可能な２次方程式」という条件付きにおいて、成立する内容について述べておく。

たすきがけ可能な２次方程式の判別式は平方数である

たすきがけ可能、すなわち整数係数 $A, B, C (A \neq 0)$ と $a, b, c, d (a c \neq 0)$ において
$A x^{2} + B x + C$ が $(a x + b) (c x + d)$ へと因数分解されるときに、
$A x^{2} + B x + C = 0$ の判別式 $D$ は、整数 $m$ を用いて $D = m^{2}$ と表される。

背理法

問題文の条件より、 $A x^{2} + B x + C = 0 ⟺ (a x + b) (c x + d) = 0$ となり、
$x = - \frac{b}{a}, - \frac{d}{c}$ となり、２解は有理解である。
仮に $D = m^{2}$ を満たす整数 $m$ が存在しないとすれば、 $D = B^{2} - 4 A C$ は無理数であり、
$x = \frac{- B \pm \sqrt{D}}{A}$ は無理数となり、２解が有理数であることに矛盾する。
よって、 $D = m^{2}$ となる。

今回の新たな因数分解法のコンセプトとしては、

$A$ と $C$ の分解 $\to a, b, c, d$ の配置 $\to B$ の構築よる検算　から
$| B |$ に対して $| m |$ を探索的に代入 $\to A C$ の構築による検算　変えて $a, b, c, d$ の探索を実施する。

ということを先に述べておく。ここで $| B |$ と $| m |$ というのは、探索範囲を狭めるために、
$B^{2} - 4 a c = m^{2} ⟺ | B |^{2} - 4 a c = | m |^{2}$ ということ利用している。
次に、 $| B |$ を用いた解の公式について触れておく。

| B |

と

| m |

用いた２次方程式の解の公式

整数 $A, B, C, m (A \neq 0)$ において $| m |^{2} = | B |^{2} - 4 A C$ が成立するとき、
$A x^{2} \pm | B | x + C = 0$ の解の公式は、以下のようになる。
$x = \mp \frac{| B | + | m |}{2 A}, \mp \frac{| B | - | m |}{2 A}$ (複合同順)

解の公式による場合分け

略

この補題を利用すると、 $A, | B |, | m |$ を用いて、次の因数分解が成立する。
これは、以降の解説の根拠になる定理になる。

和と差の積の探索による因数分解（放校やじるし）

整数係数 $A, B, C (A \neq 0)$ において、たすきがけ可能なとき
$A x^{2} \pm | B | x + C = \frac{1}{A} (A x \pm \frac{| B | - | m |}{2}) (A x \pm \frac{| B | + | m |}{2})$ （複合同順）と因数分解できる。
ただし、 $m$ は $(\frac{| B | - | m |}{2}) (\frac{| B | + | m |}{2}) = A C$ を満たし、 $\frac{| B | \pm | m |}{2}$ はいずれも整数となる。

補題３から因数分解される式を復元する

略

これだけでは、理解が困難だと思われるので、具体的な問題の解説により運用方法を解説する。

因数分解（たすきがけ可能）

$5 x^{2} - 17 x + 12 = 0$ を因数分解せよ。

解法： $| B | = 17$ に対して $| m |$ を探索的に代入して $A C = 60$ を逆算して評価する。

&&&

$\| B \|$	$\| m \|$	$\frac{\| B \| - \| m \|}{2}$	$\frac{\| B \| + \| m \|}{2}$	$\frac{\| B \| - \| m \|}{2} \times \frac{\| B \| + \| m \|}{2}$	$A C$
17	1\| 8 \| 9 \| 72 \|60\| \| 17 \| 3 \| 7 \| 10 \| 70 \|60\| \| 17 \| 5 \| 6 \| 11 \| 66 \|60\| \| 17 \| 7	5	12 \| 60 \| 60\| この方法を運用するにあたって、初めに注意することとしては、表の水色のところを見ると $\| B \| \pm \| m \|$ は偶数なので $\| B \|$ が奇数のときは $\| m \|$ は $1$ スタートとなる。もちろん、 $\| B \|$ が偶数のときは $\| m \|$ は $0$ スタートになる。そして、 $m$ の値を１つずつ増やして計算を１行ずつ繰り返していき、最後に票の右下の２つの数字が一致するまで計算すれば、答えがピンク色の箱に現れる。ここまで計算したときに、定理4の形式に代入すれば $A = 5$ より $\frac{1}{5} (5 x$ － $5) (5 x$ － $12) = (x - 1) (5 x - 12)$ と因数分解できる。ちなみに、赤色で着色したマイナス記号は、\|B\|の係数についているマイナスと対応している。 &&& このように、約数の組み合わせに関する論理を回避して、因数分解を行うことは可能である。しかし、これだけだと実用においては記法が煩雑なため、次は可能な限り省略していこうと思う。 &&&exc 因数分解（たすきがけ可能） $8 x^{2} + 30 x + 27 = 0$ を因数分解せよ。 &&& 解法： $\| B \| = 30$ に対して $\| m \|$ を探索的に代入して $A C = 216$ を逆算して評価する。ここで、以下のルールによって記法を簡略化する。１） $\| B \|, \| m \|, A C$ の値は表の初めに明記しておき、対応する列を削除する。２） $\frac{\| B \| - \| m \|}{2}$ 列の先頭を" $-$ "、 $\frac{\| B \| + \| m \|}{2}$ 列の先頭を" $+$ "にする。すると以下のように簡略化できる。比較のため、簡略化前のものも併記しておく。 &&& $A C = 216, \| B \| = 30$ より初行は $(30 \mp 0) / 2 = 15, 15$ \| $-$ \| $+$ \| $\times$ \| \| --- \| --- \| --- \| \| 15 \| 15 \| 225 \| \| 14 \| 16 \| 224 \| \| 13 \| 17 \| 221 \| \| 12 \| 18 \| 216 \| 以上より、 $\frac{1}{8} (8 x + 12) (8 x + 18) = (2 x + 3) (4 x + 9)$ と因数分解できる。 &&& 参考：簡略化前 \| $\| B \|$ \| $\| m \|$ \| $\frac{\| B \| - \| m \|}{2}$ \| $\frac{\| B \| + \| m \|}{2}$ \| $\frac{\| B \| - \| m \|}{2} \times \frac{\| B \| + \| m \|}{2}$ \| $A C$ \| \| --- \| --- \| --- \| --- \| --- \| --- \| \| 30	0\| 15 \| 15 \| 225 \|216\| \| 30 \| 2 \| 14 \| 16 \| 224 \|216\| \| 30 \| 4 \| 13 \| 17 \| 221 \|216\| \| 30 \| 6	12	18 \| 216 \| 216\| ### あとがき以上のように計算方法は、実用上の利点以外にも、コンピュータのアルゴリズムとして、たすきがけの可否を判定するのにも役立つと考えられる。また、現時点で上げられるこの計算手法の問題点としては、 $m$ の値を $2$ つずつ変化させて計算する方法を採用しているため、 $A C$ の値が増加すれば、計算量が増大する。これを回避する方法については、ある程度頭の中でまとまっているが、今回の「計算能力や数的センスに乏しい人」を対象とした解法としては適さない可能性が高いため、次回記事にて発展編として解説していく。 ※一応、独自に開発したものですが、先駆者様がいらっしゃったらご一報ください。

投稿日：2022年6月11日

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