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チェビシェフ多項式、二項係数などについて 1

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チェビシェフ多項式

cosθに関するn倍角の公式について考えてみます.
まず,よく知られている2倍角,3倍角の公式とは次の定理をいいます.

2倍角の公式

cos2θ=2cos2θ1

3倍角の公式

cos3θ=4cos3θ3cosθ

これらは,以下の加法定理から簡単に確かめることができます.

加法定理

cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ

では,一般の場合にはどうなるでしょうか.

cosnθ=2cosθcos(n1)θcos(n2)θ

定理3から,
{cos((n1)θ+θ)=cosθcos(n1)θsinθsin(n1)θcos((n1)θθ)=cosθcos(n1)θ+sinθsin(n1)θ
辺々足し合わせて,
cosnθ+cos(n2)θ=2cosθcos(n1)θ
これを整理して,与式を得る.

この命題は,一般に
cosnθ

cosθ
に関する多項式として表され,さらに,その値は隣接三項間漸化式を解くことにより得られることを示唆しています.

命題4と,定理1,2から,4倍角の公式を導出してみます。
cos4θ=2cosθcos3θcos2θ=2cosθ(4cos3θ3cosθ)(2cos21)=8cos4θ8cos2θ+1

命題4を繰り返し適用することで,任意のnに対して
cosnθ
の値を求めることができます.
ですが,ここではより直接的に求めましょう.ド・モアブルの定理を用います.

ド・モアブルの定理

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

この定理は,以下のオイラーの公式から容易に導かれます.

オイラーの公式

eiθ=cosθ+isinθ

定理5の左辺を展開し,その実部に注目してみます.

二項定理

(x+y)n=k=0n(nk)xkynk

上の二項定理により,
R(cosθisinθ)n=cosnθ(n2)sin2θcosn2θ+(n4)sin4θcosn4θ
ただし,
(nk)
は二項係数のことで
n!k!(nk)!
を指し,
R(z)
zC
の実部を表すことにします.
右辺に
sin2θ=1cos2θ
を適用すると,
R(cosθisinθ)n=cosnθ(n2)(1cos2)cosn2θ+(n4)(1cos2)2cosn4θ
=((n0)+(n2)+)cosnθ((11)(n2)+(21)(n4)+)cosn2θ+((22)(n4)+)cosn4θ
ここで,定理5より,
R(cosθisinθ)n=cosnθ
よって,以下が従います.
cosnθ=j=0[n2](1)ji=j[n2](ij)(n2i)cosn2jθ
ij+ti=j+t[n2]+t
とすると,

cosnθ=j0(1)jij(ij)(n2i)cosn2jθ

投稿日:2022615
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