積分
$xy$平面上において、$4$点$A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1)$を頂点とする正方形の内部に無作為に点$P$を定める。原点$O$と点$P$を結ぶ線分の長さの期待値を求めよ。
答え(途中過程一部省略)
求める期待値を$E$とする。$\hspace{3pt} E=\dfrac{\pi}{2}\disint_0^{\sqrt2}x^2 \mathrm{d}x-2\disint_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{t\sin t}{\cos^3t} \rmd t \hspace{5pt} \left( \cos t=\dfrac{1}{x}\right)$
$\hspace{124pt} =\dfrac{\sqrt2}{3} \pi-2\disint_0^{\frac{\pi}{4}}t\left( \dfrac{1}{2\cos^2 t} \right)' \rmd t$
$\hspace{124pt} =\dfrac{\sqrt2}{3} \pi-2\left[ \dfrac{t}{2\cos^2t} \right]_0^{\frac{\pi}{4}}+\disint_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\rmd t}{\cos^2t}$
$\hspace{124pt} =\dfrac{\sqrt2}{3} \pi-\dfrac{\pi}{2} + \left[\tan t \right]_0^{\frac{\pi}{4}}$
$\hspace{124pt} =\dfrac{\sqrt2}{3} \pi-\dfrac{\pi}{2}+1$
より求める答は $\hspace{6pt}$ $1+\left(\dfrac{\sqrt2}{3}-\dfrac{1}{2}\right) \pi \hspace{15pt} (\fallingdotseq0.91)$
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