α≠f(α)になる数列の極限

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漸化式
$a_{0} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n} [a_{n}]}{2} + 1$
で定められる数列 ${a_{n}}_{n = 0, 1, 2, \dots}$ の極限についてです。
ただし、 $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表します。

もし $α$ に収束すれば
$lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = α, lim_{n \to \infty} a_{n} = α$
であるので、 $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ をどちらも $α$ で置き換えた方程式
$α = \frac{α [α]}{2} + 1$
を考えてみると、
[1] $α \leq 0$ のとき、
　 $α [α] \geq 0$ より、
$α < \frac{α [α]}{2} + 1$
[2] $0 < α \leq 1, 2 \leq α$ のとき、
　 $[α] > α - 1$ だから、
　 $\begin{array}{rcl} \frac{α [α]}{2} + 1 & > & \frac{α (α - 1)}{2} + 1 \\ = & α + \frac{α^{2} - 3 α + 2}{2} \\ = & α + \frac{(α - 1) (α - 2)}{2} \\ \geq & α \end{array}$
[3] $1 < α < 2$ のとき、
　 $[α] = 1$ だから、
$\begin{array}{rcl} \frac{α [α]}{2} + 1 & = & \frac{α}{2} + 1 \\ > & \frac{α}{2} + \frac{α}{2} \\ = & α \end{array}$

以上から、この方程式は実数解を持たないことが分かります。

ではこの数列 ${a_{n}}$ は発散するのかと思うかもしれませんが、実はそうではありません。

数列 ${a_{n}}$ の一般項は
$a_{n} = 2 - \frac{1}{2^{n}}$
になります。

数学的帰納法で示す。
$n = 0$ のとき、 $2 - \frac{1}{2^{0}} = 1$ なのでok
$n = k (k \geq 0)$ のとき成立すると仮定すると、 $1 \leq a_{k} < 2$ なので、 $a_{k + 1} = \frac{(2 - \frac{1}{2^{k}}) \cdot 1}{2} + 1 = 2 - \frac{1}{2^{k + 1}}$ 　よって $n = k + 1$ のときにも成立するので、
すべての非負整数 $n$ に対して、 $a_{n} = 2 - \frac{1}{2^{n}}$