α≠f(α)になる数列の極限

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漸化式
$$ a_0=1,a_{n+1}=\frac{a_n [a_n]}{2}+1$$
で定められる数列$\{a_n\}_{n=0,1,2,\cdots}$の極限についてです。
ただし、$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表します。

もし$\alpha$に収束すれば
$$ \lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\alpha,\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$$
であるので、$a_{n+1}$と$a_n$をどちらも$\alpha$で置き換えた方程式
$$ \alpha=\frac{\alpha [\alpha]}{2}+1$$
を考えてみると、
[1]$\alpha\leq 0$のとき、
　$\alpha [\alpha]\geq0$より、
$$ \alpha\lt \frac{\alpha [\alpha]}{2}+1$$
[2]$0\lt \alpha \leq 1,2\leq \alpha$のとき、
　$[\alpha] \gt \alpha -1$だから、
　$$\begin{eqnarray} \frac{\alpha [\alpha]}{2}+1&\gt& \frac{\alpha (\alpha -1)}{2}+1\\ &=&\alpha+\frac{\alpha^2-3\alpha+2}{2}\\ &=&\alpha+\frac{(\alpha-1)(\alpha-2)}{2}\\ &\geq& \alpha \end{eqnarray}$$
[3]$1\lt \alpha \lt 2$のとき、
　$[\alpha]=1$だから、
$$\begin{eqnarray} \frac{\alpha [\alpha]}{2}+1&=&\frac{\alpha}{2}+1\\ &\gt& \frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\\ &=& \alpha \end{eqnarray}$$

以上から、この方程式は実数解を持たないことが分かります。

ではこの数列$\{a_n\}$は発散するのかと思うかもしれませんが、実はそうではありません。

数列$\{a_n\}$の一般項は
$$ a_n=2-\frac{1}{2^n}$$
になります。

数学的帰納法で示す。
$n=0$のとき、$2-\frac{1}{2^0}=1$なのでok
$n=k(k \geq0)$のとき成立すると仮定すると、$1 \leq a_k \lt 2$なので、$a_{k+1}=\frac{(2-\frac{1}{2^k}) \cdot1}{2}+1=2-\frac{1}{2^{k+1}}$　よって$n=k+1$のときにも成立するので、
すべての非負整数$n$に対して、$a_n=2-\frac{1}{2^n}$