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高校数学解説

極限の問題

極限
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$$\newcommand{abs}[1]{\vert #1 \vert} \newcommand{disint}[0]{\displaystyle\int} \newcommand{lr}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{Lr}[1]{\left[ #1 \right]} \newcommand{lright}[0]{\longrightarrow} \newcommand{near}[0]{\fallingdotseq} \newcommand{right}[0]{\rightarrow} \newcommand{rmd}[0]{\mathrm{d}} \newcommand{superint}[4]{\displaystyle\int _{#1}^{#2} #3 \mathrm{d}#4} \newcommand{xint}[3]{\displaystyle\int_{#1}^{#2} #3 \mathrm{d}x} $$

$xy$平面上に、曲線$C:y^2=x^3(x≧0)$と、原点$O$中心で半径$n$の円$A$がある。$C$と$y$軸と$A$で囲まれる$x≧0$の領域を$B$とし、$B$を$x$軸周りに$1$回転した立体の体積を$V_n$とするとき、$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{V_n}{n^a}$が$0$でない値$L$に収束するように正の実数$a$を定め、極限値$L$を求めよ。

答え


$a=\dfrac{8}{3},\hspace{5pt}L=\dfrac{3}{4}\pi$

投稿日：2022年7月7日

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