(n^p-1)/(p^3-n^3)が非負整数となる必要条件

問題

解答

正負を考えて, $1\le n<p$. $2\le n$とする.
正整数$m$に対し, $m$を$m=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_i^{e_i}{q}_1^{f_1}{q}_2^{f_2}\cdots q_j^{f_j}$と素因数分解する.
ただし, $p_1,p_2,\cdots ,p_i$は$p$で割った余りが$1$の素数であり, $q_1,q_2,\cdots ,q_j$は$p$で割った余りが$1$でない素数とする. このとき, $f(m)=q_1^{f_1}{q}_2^{f_2}\cdots q_j^{f_j}$とする. ($m$が任意の$p$で割って$1$余らない素数で割り切れないときは$f(m)=1$)

このとき, ${\displaystyle \frac{f(n^p-1)}{f(p^3-n^3)}}$は整数である. $f(s)f(t)=f(st)$と$f({\displaystyle \frac{n^p-1}{n-1}})=1$であることを用いると, $f(n^p-1)=f(n-1)=n-1$, $f(p^3-n^3)=f(p-n)f(p^2+pn+n^2)=(p-n)f(p^2+pn+n^2)$. ($n^p-1$は$p$の倍数でないため$f({\displaystyle \frac{n^p-1}{n-1}})=1$は位数を用いた有名事実よりわかる.)
よって, $p-n=k$とおくと, $p-k-1$は$kf(3p^2-3pk+k^2)$の倍数.
ゆえに, $f(3p^2-3pk+k^2)<p$であり, $f(3p^2-3pk+k^2)\equiv 3p^2-3pk+k^2(\mathrm{mod}p)$より, $f(3p^2-3pk+k^2)$は$k^2$を$p$で割った余りである.

(i) $k<\sqrt{p}$のとき
$f(3p^2-3pk+k^2)=k^2$である. よって, $3p^2$は$k$の倍数であるため$k=1,3$.
$k=3$を代入すると$p=3$が必要であるため矛盾.

(ii) $k\ge \sqrt{p}$のとき
$kf(3p^2-3pk+k^2)<p$より, $f(3p^2-3pk+k^2)<k$.
よって, $k^2$を$p$で割った余りは$k$未満である. ゆえに, $k^2-k<ap<k^2$なる整数$a$が存在する. $p-k-1$が$k$の倍数であるため$ap-a$は$k$の倍数である. $a<k$より, $k^2-2k<ap-a<k^2$であるため$ap-a=k^2-k$.
$f(3p^2-3pk+k^2)=k^2-ap=k-a$, ${\displaystyle \frac{p-k-1}{k}}={\displaystyle \frac{k-a-1}{a}}$から, ${\displaystyle \frac{k-a-1}{a}}$は$k-a$の倍数. ゆえに, $k-a-1$は$k-a$の倍数であるため$k-a=1$. このとき$k^2\equiv 1(\mathrm{mod}p)$より$k=p-1$. (これは$n=1$に対応しているため本来は除外すべきものである. )

以上より, $n=1$または$p=n+1$が示された.

もう少し強い必要条件の考察

$n=1$のときは明らかに条件をみたすため, $p=n+1$のときについて考えればよい.
$f(3p^2-3p+1)=f(p^2+pn+n^2)=1$より, $3p^2-3p+1$の任意の素因数は$p$で割った余りが$1$である. よって, $3p^2-3p+1$は素数. これを$q$とおく. 問題の条件は$(p-1{)}^p-1$が$q$の倍数であることである.
$((3p{)}^{3p}-1)((p-1{)}^{3p}-1)$が$q$の倍数であるため$3^{3p}+1$は$q$の倍数である.
$p\equiv 1,2(\mathrm{mod}3)$で場合分けして同様の式変形をすると$3^p\not\equiv -1$である.
$p\ne 2$のとき$3^6\not\equiv 1$より, $modq$における$3$の位数は$6p$であることが必要である.

なお, これは十分条件ではない. (実際, $p=5$はこれをみたすが問題の条件はみたさない. )

ちなみに, $n\ne 1$のとき, 問題の条件をみたす最小の$n$は$172$であり, 素数$p$と正整数$n$を用いて${\displaystyle \frac{n^p-1}{p^3-n^3}}$と表せる正整数のうち最小のものは以下の通り(382桁).

${\displaystyle \frac{{172}^{173}-1}{{173}^3-{172}^3}}=6247706871456396851475160340166572400318259189945935892409002531666243412257811270812253578347987315816495831983987062817254410621796338536964661731108633329983312660272972313434111251085462471600783218657794916872446220131617774604564738429418762240997252694677042227691582021712606807947768749252922128733065234377487092437526780501861896513586251996305665306548974982455062842979$