e^e^e>2500000を示す

私が確か高2か高3の頃に作った問題です。当時どう解いたのかは覚えていないので。色々考えてみます。
(※なお、$e^{e^e}$とは$(e^e)^{e}$ではなく$e^{(e^e)}$です。)

ここで一旦、実際にpcに計算をさせてみると$e^{e^e}$はだいたい$3.8\times10^6$なので、$2.5\times10^6$は割と緩い評価に見えます。
$\sqrt e=1.6487\dots$であることが与えられていますから、$(1.6487)^2≦e<(1.6488)^2$、すなわち$2.71821169≦e<2.71854144$、つまり$e=2.718\dots$は使えます。が、わざわざ$\sqrt e$の形で与えられているのだから、$2$乗せずに使った方が楽に解けるという想定なのでしょう。知らんけど。

少し試してみます。
$e>2$から$e^{e^e}>2^4=16$、当然これではダメです。
$e^e>e^2>(2.718)^2=7.387524>7$から$e^{e^e}>e^7>(2.718)^7=1095.837521928380688373632$、これでも全然だめです。頑張って$2.718$を$7$回かけてもやっと4桁です。

例えば、$e^{e^e}=\sqrt e^{2e^e}$であり、$2e^e$をpcに計算させると$30.30\dots>30$であるので、これを示せば、$(1.6487)^6>(2.718)^3=20.079\dots>20\dots(*)$を使って$e^{e^e}>(1.6487)^{30}>(2.718)^{15}>20^5=3.2\times10^6\dots(**)$となり示せそうです。$e^e>15$を示すのは少し厳しそうですが、なるべく近いことが出来るようやってみましょう。

とりあえず、グラフを用いることを考えてみます。以下、$1.6487^4>2.718^2>7.387$、また$a>1$であるならば$y=a^x$と$y=x^a$が$x>1$で単調増加であることを断りなく用います。

$y=e^x$のグラフを考え、$x=e$より少し$x$座標が小さい点、$(\dfrac{23}{25}e ,e^{\frac{23}{25}e}) $での接線を考えると、$y=e^{\frac{23}{25}e}(x-\dfrac{23}{25}e)+e^{\frac{23}{25}e}$、この直線は必ず$(e,e^e)$より下を通りますから、$x=e$を代入し、$e^e>e^{\frac{23}{25}e}(\dfrac{2e}{25}+1)>(1.6487)^{\frac{46}{25}(2.718)}(\dfrac{2\times2.718}{25}+1)>(1.6487)^5\times1.217$
$>7.38\times1.648\times1.215>7.38\times0.824\times2.43=14.77\dots$
より$2e^e>29.5$です。
惜しいです。$30$にはちょっと足りません。
しかし、$(1.6487)^{29.5}>2.5\times10^6$なので頑張ってみましょう。
$(*)$も用いて計算すれば、
$1.284^2<1.6487$を示して$e^{e^e}>1.6487^{29.5}>1.6487^{29}\times1.284>20^4\times1.6487\times2.718^2\times1.284>1.648\times7.387\times1.284\times20^4$
$=2.5009...\times10^6$となり、計算機の要らないくらいの計算量で示すことが出来ました。

(少し無理やりすぎた気が...まぁいっか)
もっと精度の良い近似/計算量の少ない解法があると思いますがお許しください