e^e^e>2500000を示す

私が確か高2か高3の頃に作った問題です。当時どう解いたのかは覚えていないので。色々考えてみます。
(※なお、$e^{e^e}$とは$(e^e{)}^e$ではなく$e^{(e^e)}$です。)

ここで一旦、実際にpcに計算をさせてみると$e^{e^e}$はだいたい$3.8\times {10}^6$なので、$2.5\times {10}^6$は割と緩い評価に見えます。
$\sqrt{e}=1.6487\dots$であることが与えられていますから、$(1.6487{)}^2\leqq e<(1.6488{)}^2$、すなわち$2.71821169\leqq e<2.71854144$、つまり$e=2.718\dots$は使えます。が、わざわざ$\sqrt{e}$の形で与えられているのだから、$2$乗せずに使った方が楽に解けるという想定なのでしょう。知らんけど。

少し試してみます。
$e>2$から$e^{e^e}>2^4=16$、当然これではダメです。
$e^e>e^2>(2.718{)}^2=7.387524>7$から$e^{e^e}>e^7>(2.718{)}^7=1095.837521928380688373632$、これでも全然だめです。頑張って$2.718$を$7$回かけてもやっと4桁です。

例えば、$e^{e^e}={\sqrt{e}}^{2e^e}$であり、$2e^e$をpcに計算させると$30.30\cdots >30$であるので、これを示せば、$(1.6487{)}^6>(2.718{)}^3=20.079\cdots >20\dots (\ast )$を使って$e^{e^e}>(1.6487{)}^{30}>(2.718{)}^{15}>{20}^5=3.2\times {10}^6\dots (\ast \ast )$となり示せそうです。$e^e>15$を示すのは少し厳しそうですが、なるべく近いことが出来るようやってみましょう。

とりあえず、グラフを用いることを考えてみます。以下、${1.6487}^4>{2.718}^2>7.387$、また$a>1$であるならば$y=a^x$と$y=x^a$が$x>1$で単調増加であることを断りなく用います。

$y=e^x$のグラフを考え、$x=e$より少し$x$座標が小さい点、$({\displaystyle \frac{23}{25}}e,e^{\frac{23}{25}e})$での接線を考えると、$y=e^{\frac{23}{25}e}(x-{\displaystyle \frac{23}{25}}e)+e^{\frac{23}{25}e}$、この直線は必ず$(e,e^e)$より下を通りますから、$x=e$を代入し、$e^e>e^{\frac{23}{25}e}({\displaystyle \frac{2e}{25}}+1)>(1.6487{)}^{\frac{46}{25}(2.718)}({\displaystyle \frac{2\times 2.718}{25}}+1)>(1.6487{)}^5\times 1.217$
$>7.38\times 1.648\times 1.215>7.38\times 0.824\times 2.43=14.77\dots$
より$2e^e>29.5$です。
惜しいです。$30$にはちょっと足りません。
しかし、$(1.6487{)}^{29.5}>2.5\times {10}^6$なので頑張ってみましょう。
$(\ast )$も用いて計算すれば、
${1.284}^2<1.6487$を示して$e^{e^e}>{1.6487}^{29.5}>{1.6487}^{29}\times 1.284>{20}^4\times 1.6487\times {2.718}^2\times 1.284>1.648\times 7.387\times 1.284\times {20}^4$
$=2.5009...\times {10}^6$となり、計算機の要らないくらいの計算量で示すことが出来ました。

(少し無理やりすぎた気が...まぁいっか)
もっと精度の良い近似/計算量の少ない解法があると思いますがお許しください