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高校数学解説
e^e^e>3500000を示す
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$$\newcommand{abs}[1]{\vert #1 \vert}
\newcommand{disint}[0]{\displaystyle\int}
\newcommand{lr}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{Lr}[1]{\left[ #1 \right]}
\newcommand{lright}[0]{\longrightarrow}
\newcommand{near}[0]{\fallingdotseq}
\newcommand{right}[0]{\rightarrow}
\newcommand{rmd}[0]{\mathrm{d}}
\newcommand{superint}[4]{\displaystyle\int _{#1}^{#2} #3 \mathrm{d}#4}
\newcommand{xint}[3]{\displaystyle\int_{#1}^{#2} #3 \mathrm{d}x}
$$
問題
$e^{e^e}>3500000$を示せ。但し、$\sqrt{e}=1.6487...$であることを用いてよい。
解答
クリックして開く
手計算で可能な範囲に収めます。
以下$e^x >1+x+\dfrac{x^2}{2}$を断りなく用いる（これは簡単に示せる）。
\begin{aligned}
e^e&=\sqrt{e}^{2e}\\
&=\sqrt{e}^5\times e^{e-\frac{5}{2}}\\
&>1.6487^5 \times e^{0.218}\\
&>1.6487^2\times1.6487^3\times (1+0.218+0.023762)\\
&>2.7182\times 4.4815\times1.2417\\
&>12.1817\times 1.2417\\
&=15.126\ldots\\
&>15.126
\end{aligned}
であるので、
\begin{aligned}
e^{e^e}&=\sqrt{e}^{2e^e}\\
&>\sqrt{e}^{30.252}\\
&>\sqrt{e}^{30}\times e^{0.126}\\
&>1.6487^{30} \times (1 + 0.126 + 0.007938)\\
&>4.4815^{10} \times 1.1339\\
&>20^{5} \times 1.1339\\
&=3200000 \times 1.1339\\
&=3628480\\
&>3500000
\end{aligned}
（つまらないですね。本当はもっと面白い方法で示すのが想定だった気がするのですが、4年も前のことなので忘れてしまいました。）
投稿日：2022年7月7日
更新日：13日前
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