$$　　\ \ 2\sum_{0< a}\frac{2^a}{a^2\binom{2a}{a}}\\ 　=\sum_{0< a< b}\frac{2^a}{ab}\frac{a!b!}{(a+b)!}+\sum_{0< a}\frac{2^a}{a^2\binom{2a}{a}}\\ 　=\sum_{0< a\leq b}\frac{2^a}{ab}\frac{a!b!}{(a+b)!}\\ 　=\sum_{0< b}\frac{b!}{b}\sum_{a=1}^b\frac{2^aa!}{a(a+b)!}\\ 　=\sum_{0< b}\frac{b!}{b}\frac{1}{2^bb!}\sum_{a=1}^b\frac{2^a}{a}\\ 　=\sum_{0< a\leq b}\frac{2^a}{ab2^b}\\ 　=\sum_{0< a}\frac{2^a}{a}\sum_{a< b}\frac{1}{b2^b}+ζ(2)\\ 　=\sum_{0< a}\frac{2^a}{a}\left(-\frac{a!}{2^a}\sum_{0< b}\frac{(-1)^bb!}{b(a+b)!}\right)+ζ(2)\\ 　=-\sum_{0< b}\frac{(-1)^bb!}{b}\sum_{0< a}\frac{a!}{a(a+b)!}+ζ(2)\\ 　=ζ(2)-ζ(\bar2)\\ 　=\frac{π^2}{4}$$