作問(連分数展開)

$x_n=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{...}}}$について考える。ただし、$n$は$2$の個数である。
（１）$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表せ。
（２）隣り合う$3$つの項が単調に増加または単調に減少しないことを示せ。
（３）$\frac{7}{5}\le x_n\le \frac{3}{2}$を示せ。
（４）極限値$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$を求めよ。

【解答】
(1) $x_{n+1}=1+\frac{1}{1+x_n}$
(2) 与えられた一般項の定義式よりすべての自然数$n$に対し、$x_n>0$である。
$x_{n+2}-x_{n+1}=(1+\frac{1}{1+x_{n+1}})-(1+\frac{1}{1+x_n})$
$=\frac{x_n-x_{n+1}}{(1+x_{n+1})(1+x_n)}$
よって$x_n<x_{n+1}$のとき$x_{n+2}<x_{n+1}$
$x_n>x_{n+1}$のとき$x_{n+2}>x_{n+1}$
となることから題意が示された
(3) すべての自然数$n$について$\frac{7}{5}\le x_n\le \frac{3}{2}$･･･①となることを数学的帰納法で示す。
(i)$n=1$のとき$x_1=\frac{3}{2}$より①は成立
(ii)$n=k$のとき①が成り立つと仮定する。$\frac{7}{5}\le x_k\le \frac{3}{2}$
このとき$\frac{7}{5}\le 1+\frac{1}{1+x_k}\le \frac{17}{12}$となるから、$n=k+1$のときも①は成立
よって(i)(ii)よりすべての自然数$n$について$\frac{7}{5}\le x_n\le \frac{3}{2}$が成立
(4) $|x_{n+2}-x_{n+1}|=|\frac{x_n-x_{n+1}}{(1+x_{n+1})(1+x_n)}|$
$=\frac{|x_n-x_{n+1}|}{(1+x_{n+1})(1+x_n)}$
$\le (\frac{5}{12}{)}^2|x_{n+1}-x_n|$
これを繰り返し用いることで
$0\le |x_{n+1}-x_n|\le (\frac{5}{12}{)}^{2(n-1)}|x_2-x_1|\to 0(n\to \infty )$
よってはさみうちの原理から$li{m}_{n\to \infty }|x_{n+1}-x_n|=0$
$(3)$から$x_n$は収束するから、$x_{n+1}\to ‪\alpha ‬、x_n\to ‪\alpha ‬(n\to \infty )$と考えて良い。
よって$‪\alpha ‬=1+\frac{1}{1+‪\alpha ‬}$$\frac{7}{5}\le ‪\alpha ‬\le \frac{3}{2}$より$‪\alpha ‬=\sqrt{2}$