継ぎ足す前の秘伝のウナギのタレの行方

問.秘伝のウナギのタレ1Lをよくかき混ぜ、1ヶ月で90%使い、その後1Lになるように水をつぎ足す、という作業を繰り返す。

(1)
$n$ヶ月後のウナギのタレの濃度を求めなさい。

解
1ヶ月後の濃度は
純粋なウナギのタレの量:$1・(1-0.9)$
薄めたタレ全体の量:$1$
より
$\frac{1・(1-0.90)}{1}=1-0.90$

$k$ヶ月後のウナギのタレの濃度を$(1-0.90{)}^k$と仮定すると
$(k+1)$ヶ月後のウナギのタレの濃度は
純粋なウナギのタレの量:$1・(1-0.9{)}^k・(1-0.9)$
薄めたタレ全体の量:$1$
より

$\frac{1・(1-0.90{)}^k・(1-0.90)}{1}=(1-0.90{)}^{k+1}$

数学的帰納法より
$n$ヶ月後のウナギのタレの濃度は$(1-0.90{)}^n$

(2)1ヶ月で$x$%使った時の、$n$ヶ月後のウナギのタレの濃度を求めなさい。

解
$(1-\frac{x}{100}{)}^n$

(3)(2)の作業を繰り返したとき、濃度の極限を求めよ。

解
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{x}{100}{)}^n=0$

つまり、水しか残らないことになる。

乾燥

ウナギのタレを継ぎ足すのは「昔の伝統のタレは、いくら薄めても残り続けているから」と聞いたことがあったが、そうではなかった。
何か別の理由があると思われる。