1.積和公式とは
2.加法定理(3変数)
3.補題
4.n変数のsinの積和公式
5.証明
6.終わりに
積和公式とは三角関数の積を和に変換する公式のことです。今記事では、sinの積和公式に焦点を当てていきます。
高校数学の教科書にはsinの積和公式は次のように書かれています。
これは、コサインの加法定理
から導かれます。
上記の場合では、変数は
2変数の加法定理を繰り返し用いることで、次の3変数の加法定理を得ることができます。
これらを用いて次の補題を示していきます。
(3変数のsinの積和公式)
公式1において
を計算することにより
公式1において
を計算することにより
で表される
(例)
nが奇数の時と、偶数の時とで積和公式の形は異なります。
ただし
ただし
(
実際に、公式2にn=3を代入してみると
となり、補題1の結果と一致します。
また、公式3にn=2を代入してみても
となり、これは2変数の積和公式に一致していることが分かります。
数学的帰納法で証明します。
が成立すると仮定して、n=k+2のとき
となることを示す。
となるから、仮定より
ここで、見通しを良くするために
補題1より
()内の
よって、n=k+2のときも成立
nが偶数のときも、同じ手法で示すことができます。
仮定より
(公式2)の証明と同様に
補題2より
()内の
よって、n=k+2のときも成立
一般に、n個のsinの積は、
ここまで読んでいただきありがとうございました