n変数のsinの積和公式

904

1. 積和公式とは

積和公式とは三角関数の積を和に変換する公式のことです。今記事では、sinの積和公式に焦点を当てていきます。
高校数学の教科書にはsinの積和公式は次のように書かれています。
$\sin α \sin β = - \frac{1}{2} {\cos (α + β) - \cos (α - β)}$
これは、コサインの加法定理
$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$
$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$
から導かれます。

上記の場合では、変数は $α$ $β$ の二種類ですが、変数がn個の場合のsinの積和公式はどのように表されるのでしょうか？

2.加法定理(3変数)

2変数の加法定理を繰り返し用いることで、次の3変数の加法定理を得ることができます。

3変数の加法定理

$➀ \sin (α + β + γ) = \sin α \cos β \cos γ + \cos α \sin β \cos γ + \cos α \cos β \sin γ - \sin α \sin β \sin γ$
$➁ \sin (α + β - γ) = \sin α \cos β \cos γ + \cos α \sin β \cos γ - \cos α \cos β \sin γ + \sin α \sin β \sin γ$
$➂ \sin (α - β + γ) = \sin α \cos β \cos γ - \cos α \sin β \cos γ + \cos α \cos β \sin γ + \sin α \sin β \sin γ$
$➃ \sin (α - β - γ) = \sin α \cos β \cos γ - \cos α \sin β \cos γ - \cos α \cos β \sin γ - \sin α \sin β \sin γ$

$➄ \cos (α + β + γ) = \cos α \cos β \cos γ - \sin α \sin β \cos γ - \sin α \cos β \sin γ - \cos α \sin β \sin γ$
$➅ \cos (α + β - γ) = \cos α \cos β \cos γ - \sin α \sin β \cos γ + \sin α \cos β \sin γ + \cos α \sin β \sin γ$
$➆ \cos (α - β + γ) = \cos α \cos β \cos γ + \sin α \sin β \cos γ - \sin α \cos β \sin γ + \cos α \sin β \sin γ$
$➇ \cos (α - β - γ) = \cos α \cos β \cos γ + \sin α \sin β \cos γ + \sin α \cos β \sin γ - \cos α \sin β \sin γ$

これらを用いて次の補題を示していきます。

3.補題

\sin α \sin β \sin γ

を和に変換する

(3変数のsinの積和公式)
公式1において
$(➀ - ➁ - ➂ + ➃) \times (- \frac{1}{4})$
を計算することにより
$\underset{―}{\sin α \sin β \sin γ = - \frac{1}{4} {\sin (α + β + γ) - \sin (α + β - γ) - \sin (α - β + γ) + \sin (α - β - γ)}}$

\cos α \sin β \sin γ

を和に変換する

公式1において
$(➄ - ➅ - ➆ + ➇) \times (- \frac{1}{4})$
を計算することにより
$\underset{―}{\cos α \sin β \sin γ = - \frac{1}{4} {\cos (α + β + γ) - \cos (α + β - γ) - \cos (α - β + γ) + \cos (α - β - γ)}}$

4.n変数のsinの積和公式

\sum_{}

の表記法について

$k_{1} ～ k_{n}$ を適当な数として
$f (k_{1} \pm k_{2} \pm \dots \pm k_{n})$
で表される $2^{n - 1}$ 個の数の総和を
$\sum_{} f (k_{1} \pm k_{2} \pm \dots \pm k_{n})$ と書くこととします。

（例）
$\sum_{} f (A \pm B \pm C) = f (A + B + C) + f (A + B - C) + f (A - B + C) + f (A - B - C)$

nが奇数の時と、偶数の時とで積和公式の形は異なります。

nが奇数のとき

$\prod_{i = 1}^{n} \sin (a_{i}) = \frac{(- 1)^{\frac{n - 1}{2}}}{2^{n - 1}} \sum_{} \sin (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{n}) (- 1)^{N_{n}}$
ただし $N_{n}$ は $\pm$ の部分で $-$ を選んだ回数

nが偶数のとき

$\prod_{i = 1}^{n} \sin (a_{i}) = \frac{(- 1)^{\frac{n}{2}}}{2^{n - 1}} \sum_{} \cos (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{n}) (- 1)^{N_{n}}$
ただし $N_{n}$ は $\pm$ の部分で $-$ を選んだ回数

( $(- 1)^{N_{n}}$ は $\pm$ の部分で $-$ を奇数回選んだ時に、全体の符号がマイナスになるというイメージです。)

実際に、公式２にn=3を代入してみると
$\sin a_{1} \sin a_{2} \sin a_{3} = - \frac{1}{4} {\sin (a_{1} + a_{2} + a_{3}) - \sin (a_{1} + a_{2} - a_{3}) - \sin (a_{1} - a_{2} + a_{3}) + \sin (a_{1} - a_{2} - a_{3})}$
となり、補題１の結果と一致します。

また、公式３にn=2を代入してみても
$\sin a_{1} \sin a_{2} = - \frac{1}{2} {\cos (a_{1} + a_{2}) - \cos (a_{1} - a_{2})}$
となり、これは2変数の積和公式に一致していることが分かります。

5.証明

数学的帰納法で証明します。

公式2 (nが奇数の時)

$Ⅰ$ .n=1のときは自明であり、n=3のときは(補題１)で示した。
$Ⅱ$ .n=kのとき、(kは奇数)
$\prod_{i = 1}^{k} \sin (a_{i}) = \frac{(- 1)^{\frac{k - 1}{2}}}{2^{k - 1}} \sum_{} \sin (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{k}) (- 1)^{N_{k}}$
が成立すると仮定して、n=k+2のとき
$\prod_{i = 1}^{k + 2} \sin (a_{i}) = \frac{(- 1)^{\frac{k + 1}{2}}}{2^{k + 1}} \sum_{} \sin (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{k + 2}) (- 1)^{N_{k + 2}}$
となることを示す。

$\prod_{i = 1}^{k + 2} \sin (a_{i})$
$= {\prod_{i = 1}^{k} \sin (a_{i})} \cdot \sin a_{k + 1} \cdot \sin a_{k + 2}$
となるから、仮定より
$= \frac{(- 1)^{\frac{k - 1}{2}}}{2^{k - 1}} \sum_{} \sin (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{k}) (- 1)^{N_{k}} \cdot \sin a_{k + 1} \cdot \sin a_{k + 2}$
ここで、見通しを良くするために
$\sum_{} \sin (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{k}) (- 1)^{N_{k}} = \sin A_{k}$ とおくと
$= \frac{(- 1)^{\frac{k - 1}{2}}}{2^{k - 1}} (\sin A_{k} \cdot \sin a_{k + 1} \cdot \sin a_{k + 2})$
補題１より
$= \frac{(- 1)^{\frac{k + 1}{2}}}{2^{k + 1}} {\sin (A_{k} + a_{k + 1} + a_{k + 2}) - \sin (A_{k} + a_{k + 1} - \sin a_{k + 2}) - \sin (A_{k} - \sin a_{k + 1} + \sin a_{k + 2}) + \sin (A_{k} - \sin a_{k + 1} - \sin a_{k + 2})}$
()内の $-$ の数と、 $\sin$ の符号に注意すると
$= \frac{(- 1)^{\frac{k + 1}{2}}}{2^{k + 1}} \sum_{} \sin (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{k + 2}) (- 1)^{N_{k + 2}}$
よって、n=k+2のときも成立

$(Ⅰ) (Ⅱ)$ から（公式２）は成立する $◼$

nが偶数のときも、同じ手法で示すことができます。

公式３（nが偶数のとき）

$Ⅰ$ .n=2のとき、先ほど述べた通り成立する。
$Ⅱ$ .n=kのとき、(kは偶数)
$\prod_{i = 1}^{k} \sin (a_{i}) = \frac{(- 1)^{\frac{k}{2}}}{2^{k - 1}} \sum_{} \cos (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{k}) (- 1)^{N_{k}}$ が成立すると仮定して、n=k+2のとき
$\prod_{i = 1}^{k + 2} \sin (a_{i}) = \frac{(- 1)^{\frac{k + 2}{2}}}{2^{k + 1}} \sum_{} \cos (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{k + 2}) (- 1)^{N_{k + 2}}$ となることを示す。

$\prod_{i = 1}^{k + 2} \sin (a_{i})$
$= {\prod_{i = 1}^{k} \sin (a_{i})} \cdot \sin a_{k + 1} \cdot \sin a_{k + 2}$
仮定より
$= \frac{(- 1)^{\frac{k}{2}}}{2^{k - 1}} \sum_{} \cos (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{k}) (- 1)^{N_{k}} \cdot \sin a_{k + 1} \cdot \sin a_{k + 2}$
（公式２）の証明と同様に
$\sum_{} \cos (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{k}) (- 1)^{N_{k}} = \cos A_{k}$ とおくと
$= \frac{(- 1)^{\frac{k}{2}}}{2^{k - 1}} (\cos A_{k} \cdot \sin a_{k + 1} \cdot \sin a_{k + 2})$
補題2より
$= \frac{(- 1)^{\frac{k + 2}{2}}}{2^{k + 1}} {\cos (A_{k} + a_{k + 1} + a_{k + 2}) - \cos (A_{k} + a_{k + 1} - a_{k + 2}) - \cos (A_{k} - a_{k + 1} + a_{k + 2}) + \cos (A_{k} - a_{k + 1} - a_{k + 2})}$
()内の $-$ の数と、 $\cos$ の符号に注意すると
$= \frac{(- 1)^{\frac{k + 2}{2}}}{2^{k + 1}} \sum_{} \cos (a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \dots \pm a_{k + 2}) (- 1)^{N_{k + 2}}$
よって、n=k+2のときも成立

$(Ⅰ) (Ⅱ)$ から（公式３）は成立する $◼$

6.終わりに

一般に、n個のsinの積は、 $2^{n - 1}$ 個のsinやcosの加・減法に展開できることが分かりました。また、今回示した積和公式は加法定理から導かれるものだったので、実数範囲だけでなく複素数範囲で成り立ちそうですね。

ここまで読んでいただきありがとうございました $✋ θ ω θ$

投稿日：2022年7月29日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

余余余

226

14999

よよよよよよよよよよよよ

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

余余余

n変数のsinの積和公式

目次
1. 積和公式とは
2.加法定理(3変数)
3.補題
4.n変数のsinの積和公式
5.証明
6.終わりに

n変数のsinの積和公式

目次

1. 積和公式とは

2.加法定理(3変数)

3.補題

4.n変数のsinの積和公式

5.証明

6.終わりに

この記事を高評価した人

この記事に送られたバッジ

投稿者

コメント

他の人のコメント