n変数のsinの積和公式
目次
1.積和公式とは
2.加法定理(3変数)
3.補題
4.n変数のsinの積和公式
5.証明
6.終わりに
1. 積和公式とは
積和公式とは三角関数の積を和に変換する公式のことです。今記事では、sinの積和公式に焦点を当てていきます。
高校数学の教科書にはsinの積和公式は次のように書かれています。
$$ \sin \alpha \sin \beta = - \frac{1}{2} \lbrace \cos ( \alpha + \beta ) - \cos ( \alpha - \beta ) \rbrace $$
これは、コサインの加法定理
$ \cos ( \alpha + \beta )= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $
$ \cos( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $
から導かれます。
上記の場合では、変数は$ \alpha $$ \beta $の二種類ですが、変数がn個の場合のsinの積和公式はどのように表されるのでしょうか？
2.加法定理(3変数)
2変数の加法定理を繰り返し用いることで、次の3変数の加法定理を得ることができます。
$➀ \sin ( \alpha + \beta + \gamma ) =\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $
$➁ \sin ( \alpha + \beta - \gamma ) =\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $
$➂ \sin ( \alpha - \beta + \gamma ) =\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma - \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $
$➃ \sin ( \alpha - \beta - \gamma ) =\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $
$➄ \cos( \alpha + \beta + \gamma ) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma $
$➅ \cos( \alpha + \beta - \gamma ) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma + \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma $
$➆ \cos( \alpha - \beta + \gamma ) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma $
$➇ \cos( \alpha - \beta - \gamma ) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma + \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma $
これらを用いて次の補題を示していきます。
3.補題
(3変数のsinの積和公式)
公式1において
$( ➀ - ➁ - ➂ + ➃ ) \times ( - \frac{1}{4} ) $
を計算することにより
$ \underline{ \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma = - \frac{1}{4} \lbrace \sin ( \alpha + \beta+ \gamma )- \sin( \alpha + \beta - \gamma ) - \sin( \alpha - \beta + \gamma ) + \sin( \alpha - \beta - \gamma ) \rbrace } $
公式1において
$ (➄-➅-➆+➇) \times (- \frac{1}{4} ) $
を計算することにより
$ \underline{ \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma= - \frac{1}{4} \lbrace \cos( \alpha +\beta + \gamma ) - \cos( \alpha + \beta - \gamma ) - \cos( \alpha - \beta + \gamma ) + \cos( \alpha - \beta - \gamma ) \rbrace } $
4.n変数のsinの積和公式
$ k_{1} ～k_{n} $を適当な数として
$$ f(k_{1} \pm k_{2} \pm \cdots \pm k_{n}) $$
で表される$2^{n-1}$個の数の総和を
$ \sum_{}f(k_{1} \pm k_{2} \pm \cdots \pm k_{n}) $と書くこととします。
（例）
$ \sum_{}f( A\pm B \pm C)=f(A+B+C)+f(A+B-C)+f(A-B+C)+f(A-B-C) $
nが奇数の時と、偶数の時とで積和公式の形は異なります。
$$ \prod_{i=1}^{n} \sin (a_{i}) = \frac{(-1)^{ \frac{n-1}{2} }}{2^{n-1}} \sum_{} \sin ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{n} )(-1)^ {N_{n}}
$$
ただし$ {N_{n}} $は$\pm$の部分で$ - $ を選んだ回数
$$
\prod_{i=1}^{n} \sin (a_{i}) = \frac{(-1)^{ \frac{n}{2} }}{2^{n-1}} \sum_{} \cos ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{n} )(-1)^{N_{n}}
$$
ただし$ {N_{n}} $は$\pm$の部分で$ - $ を選んだ回数
($(-1)^{N_{n}} $は$ \pm $の部分で$ - $を奇数回選んだ時に、全体の符号がマイナスになるというイメージです。)
実際に、公式２にn=3を代入してみると
$$\sin a_{1} \sin a_{2} \sin a_{3} = - \frac{1}{4} \lbrace \sin ( a_{1} + a_{2} +a_{3} )-\sin ( a_{1} + a_{2} -a_{3} )-\sin ( a_{1} - a_{2} +a_{3} )+\sin ( a_{1} - a_{2} -a_{3} ) \rbrace $$
となり、補題１の結果と一致します。
また、公式３にn=2を代入してみても
$$\sin a_{1} \sin a_{2} = - \frac{1}{2} \lbrace \cos( a_{1} + a_{2} ) - \cos ( a_{1} - a_{2} ) \rbrace $$
となり、これは2変数の積和公式に一致していることが分かります。
5.証明
数学的帰納法で証明します。
$Ⅰ$.n=1のときは自明であり、n=3のときは(補題１)で示した。
$Ⅱ$.n=kのとき、(kは奇数)
$$\prod_{i=1}^{k} \sin (a_{i}) = \frac{(-1)^{ \frac{k-1}{2} }}{2^{k-1}} \sum_{} \sin ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{k} )(-1)^ {N_{k}} $$
が成立すると仮定して、n=k+2のとき
$$
\prod_{i=1}^{k+2} \sin (a_{i}) = \frac{(-1)^{ \frac{k+1}{2} }}{2^{k+1}} \sum_{} \sin ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{k+2} )(-1)^ {N_{k+2}}
$$
となることを示す。
$$\prod_{i=1}^{k+2} \sin (a_{i}) $$
$$= \lbrace \prod_{i=1}^{k} \sin (a_{i}) \rbrace \cdot \sin a_{k+1} \cdot \sin a_{k+2} $$
となるから、仮定より
$$=\frac{(-1)^{ \frac{k-1}{2} }}{2^{k-1}} \sum_{} \sin ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{k} )(-1)^ {N_{k}}
\cdot \sin a_{k+1} \cdot \sin a_{k+2} $$
ここで、見通しを良くするために
$ \sum_{} \sin ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{k} )(-1)^ {N_{k}}= \sin A_{k} $とおくと
$$= \frac{(-1)^{ \frac{k-1}{2} }}{2^{k-1}} (\sin A_{k} \cdot \sin a_{k+1} \cdot \sin a_{k+2} ) $$
補題１より
$$
=\frac{(-1)^{ \frac{k+1}{2} }}{2^{k+1}} \lbrace \sin( A_{k} + a_{k+1} + a_{k+2} )-\sin (A_{k} + a_{k+1} - \sin a_{k+2} )-\sin (A_{k} - \sin a_{k+1} + \sin a_{k+2} )+\sin (A_{k} - \sin a_{k+1} - \sin a_{k+2} ) \rbrace
$$
()内の$-$の数と、 $\sin$の符号に注意すると
$$
= \frac{(-1)^{ \frac{k+1}{2} }}{2^{k+1}} \sum_{} \sin ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{k+2} )(-1)^ {N_{k+2}}
$$
よって、n=k+2のときも成立
$(Ⅰ)(Ⅱ)$から（公式２）は成立する $\blacksquare $
nが偶数のときも、同じ手法で示すことができます。
$Ⅰ$.n=2のとき、先ほど述べた通り成立する。
$Ⅱ$.n=kのとき、(kは偶数)
$$\prod_{i=1}^{k} \sin (a_{i}) = \frac{(-1)^{ \frac{k}{2} }}{2^{k-1}} \sum_{} \cos ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{k} )(-1)^{N_{k}} $$が成立すると仮定して、n=k+2のとき
$$\prod_{i=1}^{k+2} \sin (a_{i}) = \frac{(-1)^{ \frac{k+2}{2} }}{2^{k+1}} \sum_{} \cos ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{k+2} )(-1)^{N_{k+2}} $$となることを示す。
$$\prod_{i=1}^{k+2} \sin (a_{i}) $$
$$= \lbrace \prod_{i=1}^{k} \sin (a_{i}) \rbrace \cdot \sin a_{k+1} \cdot \sin a_{k+2} $$
仮定より
$$=\frac{(-1)^{ \frac{k}{2} }}{2^{k-1}} \sum_{} \cos ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{k} )(-1)^{N_{k}} \cdot \sin a_{k+1} \cdot \sin a_{k+2} $$
（公式２）の証明と同様に
$\sum_{} \cos ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{k} )(-1)^{N_{k}}= \cos A_{k} $とおくと
$$=\frac{(-1)^{ \frac{k}{2} }}{2^{k-1}}( \cos A_{k} \cdot \sin a_{k+1} \cdot \sin a_{k+2} ) $$
補題2より
$$=\frac{(-1)^{ \frac{k+2}{2} }}{2^{k+1}} \lbrace \cos (A_{k} + a_{k+1} + a_{k+2} ) -\cos (A_{k} + a_{k+1} - a_{k+2} )- \cos (A_{k} - a_{k+1} + a_{k+2} )+ \cos (A_{k} - a_{k+1} - a_{k+2} ) \rbrace $$
()内の$-$の数と、 $ \cos $の符号に注意すると
$$=\frac{(-1)^{ \frac{k+2}{2} }}{2^{k+1}} \sum_{} \cos ( a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{k+2} )(-1)^{N_{k+2}} $$
よって、n=k+2のときも成立
$(Ⅰ)(Ⅱ)$から（公式３）は成立する $\blacksquare $
6.終わりに
一般に、n個のsinの積は、$2^{n-1}$個のsinやcosの加・減法に展開できることが分かりました。また、今回示した積和公式は加法定理から導かれるものだったので、実数範囲だけでなく複素数範囲で成り立ちそうですね。
ここまで読んでいただきありがとうございました$ ✋\theta \omega \theta $
