(自己紹介と) 自作問題の解説
こんにちは，locker といいます．中３です．
主に競技数学をやっています．OMC に作問を投げたりもします．
なんとなくアカウントを作ったので，記事投稿はそんなにしないと思います．
とは言えこれだけで終わるとあれなので問題の解説でもします．どっちかというとこっちが本編です．解説する問題は twitter の作問リレーで私が出したものです．
ウォーミングアップ
いったん，私が中２の頃に出題した次の問題を考えましょう．今回の本題はこの問題をリメイクする形で作りました．
以下の値が整数となることを示せ．
$$\frac{(100!)^{50}}{1^{100}\times 2^{99}\times \cdots \times 100^1}$$
分母がなんか気持ち悪いですが，次のような図を縦と横から見ることを考えると
$$1!\times 2!\times \cdots \times 100!$$
と変形できます：
これで分母，分子の両方が階乗で表されたので，なんか二項係数っぽい感じがしますね．実際
$$\begin{aligned} \frac{(100!)^{50}}{1!\times2!\times\cdots\times100!} &= \frac{100!}{1!\times 100!} \times \frac{100!}{2!\times 99!} \times \cdots \times \frac{100!}{50!\times 51!} \\ &= \frac{{}_{101}\mathrm{C}_{1}}{101}\times \frac{{}_{101}\mathrm{C}_{2}}{101}\times \cdots \times \frac{{}_{101}\mathrm{C}_{50}}{101} \end{aligned}$$
と変形でき，${}_{101}\mathrm{C}_{1}, {}_{101}\mathrm{C}_{2}, \cdots, {}_{101}\mathrm{C}_{50}$ は整数かつ，全て素数 $101$ の倍数なので，示されました．
本題
$(1,2,\cdots, 100)$ の並べ替え $(a_1, a_2, \cdots, a_{100})$ が任意の $1\leq k\leq 100$ について以下を満たしている：
- $a_i\gt a_k$ なる $i$ が 全て $k$ より大きい，または全て $k$ より小さい．
このような $(a_1, a_2, \cdots, a_{100})$ について，以下の値が整数となることを示せ．
$$\left(\frac{1}{101-a_1}\right)^{a_1}\left(\frac{2}{101-a_2}\right)^{a_2}\cdots\left(\frac{100}{101-a_{100}}\right)^{a_{100}}$$
問題１と問題２に共通するのは，二項係数をうまく使って示すという点です．
とりあえず展開して，分母を先ほどと同様に整理すると
$$\frac{1^{a_1}\times 2^{a_2}\times \cdots \times 100^{a_{100}}}{1!\times 2!\times \cdots\times 100!}$$
が整数であること，つまり
$$1^{a_1}\times 2^{a_2}\times \cdots \times 100^{a_{100}}$$
が $1!\times2!\times\cdots\times100!$ の倍数であることを示せばいいです．
次に $a_n$ について探っていきます．条件を言い換えれば，$a_n$ は次のようにして構成できることが分かります．
- 最初に $100$ のみがある状態を作る．
- $99$ を最左または最右に並べる．
- $98$ を最左または最右に並べる．
- ...
- $1$ を最左または最右に並べる．
つまり
$(100)$ → (右に並べる) → $(100,99)$ → (左に並べる) → $(98,100,99)$ → (右に並べる) → $(98,100,99,97)$ → ...
というようにして $a_1, a_2, \cdots, a_{100}$ が作れるということです．
さて，ここで以下のように $1^{a_1}\times 2^{a_2}\times \cdots \times 100^{a_{100}}$ の図を描いてみましょう．ただし，下図では $100$ を $5$ に変換しています．
そしてこれを上の段から順番に見てみます．すると，連続する $1,2,\cdots, 100$ 個の整数が現れます．
これはさっき述べた性質から簡単に確認できます．$100$，$99$ と $100$，$98$ と $99$ と $100$ ，... はすべて連続して $a_n$ の中に現れるからです．
もう分かった方が多いのではないでしょうか．分子は上で述べた理由から
($1$ 個の連続する整数の積) $\times$ ($2$ 個の連続する整数の積) $\times \cdots \times$ ($100$ 個の連続する整数の積)
と表せます．ここで二項係数が整数であることから，これらは左から順番に $1!, 2!, \cdots, 100!$ で割り切れます．従って $1^{a_1}\times 2^{a_2}\times \cdots \times 100^{a_{100}}$ は $1!\times2!\times\cdots\times100!$ の倍数となり，題意は示されました．