【理系受験生必見】微分積分マスターになろう vol.1
こんにちは。ライターのSakuraiです。
受験数学において理系なら避けて通れないのが微分積分の問題。
計算が多く、気を抜くと計算ミスをしてしまう...。そんな経験はありませんか？
そこで、この記事では受験生向けに微分積分の問題を解くコツを伝授したいと思います！
というわけで、早速問題。
$$ \int_{0}^{1} x^3 e^{x} dx $$
この問題、解法はすぐに思いつくでしょう。そう、「部分積分」です。部分積分を繰り返すことで、関数にある積の部分がなくなり、単純な積分の問題に帰着できる、というわけです。しかし、皆さんはこう思いますよね。
「めんどくさっ」
ええ、僕も思います（笑）。なのでこんな積分は一気にやってしまいましょう。それが 「瞬間部分積分」です。
瞬間部分積分は、部分積分を繰り返す際に、一度に機械的な作業で計算をしてしまいたい、そんな思いから生まれた解法です。
手順は簡単、掛け算でくっついている関数のうち、片方をどんどん微分、もう片方はどんどん積分していきます（この時、積分していく方は『一度積分した状態からスタート！』）。
例題でいうとこんな感じ。
$$
+\quad x^3 \quad e^{x}
$$
$$
-\quad 3x^2 \quad e^{x}
$$
$$
+\quad 6x \quad e^{x}
$$
$$
-\quad 6 \quad e^{x}
$$
これで積分は完了です。あとは定積分なら積分区間の両端の数字を代入して完成です。では解いてみましょう。
$$
\int_{0}^{1} x^3 e^{x} dx
$$
$$
= [ x^3 e^{x} - 3x^2 e^{x} +6x e^{x} -6 e^{x} ] \begin{eqnarray}
1 \\ 0
\end{eqnarray}
$$
$$
=e-3e+6e-6e+6 =-2e+6
$$
このように計算することで、楽に計算できる上に符号ミスなどによる計算ミスの減少にも期待できます。
このように、受験数学で役に立つテクニックを今後も紹介していく予定です。
それでは皆さん、次の記事でお会いしましょう。
最後までお読みくださり、ありがとうございました。