Miquelの六円定理

証明は次の図で完結します.

proof
四角形$ABCD$の対角の和が${180}^{\circ }$ $\iff$ 四角形$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$の対角の和が${180}^{\circ }$

$A$を中心とした適当な半径の円を固定します. その円について反転をすると${\mathrm{\Gamma }}_1,{\mathrm{\Gamma }}_2$は平行な$2$直線${\mathrm{\Gamma }}_1^{\prime },{\mathrm{\Gamma }}_2^{\prime }$になり($\because A=P_{\mathrm{\infty }}$を通るので), ${\mathrm{\Gamma }}_3,{\mathrm{\Gamma }}_4$は互いに接したまま,それぞれ直線${\mathrm{\Gamma }}_1^{\prime },{\mathrm{\Gamma }}_2^{\prime }$に接する$2$円に移ります. すると, 円外の点から引いた二本の接線は二等辺三角形を成すので$\mathrm{\angle }G{D}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }G{C}^{\prime }{D}^{\prime }$と$\mathrm{\angle }I{C}^{\prime }{B}^{\prime }=\mathrm{\angle }I{B}^{\prime }{C}^{\prime }$が従い, ${\mathrm{\Gamma }}_1^{\prime }\parallel {\mathrm{\Gamma }}_2^{\prime }$に留意すれば$B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$(もちろん$P_{\mathrm{\infty }}$も)の共線が導かれ元の$4$点$A,B,C,D$は共円となります.
†反転†