解いた不等式まとめ（順次更新中）
$a,b,c \in \mathbb{R}^+$
$$\dfrac{a}{b+\sqrt[4]ab^3}+\dfrac{b}{c+\sqrt[4]bc^3}+\dfrac{c}{a+\sqrt[4]ca^3} \geq \dfrac{3}{2}$$
$$\dfrac{a}{b+\sqrt[4]ab^3}+\dfrac{b}{c+\sqrt[4]bc^3}+\dfrac{c}{a+\sqrt[4]ca^3} \geq \sum_{cyc} \dfrac{a}{b+\dfrac{1}{4}a+\dfrac{3}{4}b}=\sum_{cyc} \dfrac{4a}{a+7b}\geq \dfrac{3}{2}$$
$$\iff \sum_{cyc}\dfrac{a}{a+7b} \geq \dfrac{3}{8}$$
$$\iff \sum_{cyc}\dfrac{a^2}{a^2+7ab}\geq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+7(ab+bc+ca)} \geq \dfrac{3}{8}$$
$$\iff 8(a^2+b^2+c^2) \geq 8(ab+bc+ca)$$
Muirheadの不等式より明らか
$a,b,c \in \mathbb{R}^+,a+b+c=3$
$$ (3-2a)(3-2b)(3-2c) \leq a^2b^2c^2 $$
$\Delta = (三角形の面積)=\dfrac{abc}{4R} , R=(外接円の半径)$とする
$$ (a+b+c)(3-2a)(3-2b)(3-2c) \leq 3a^2b^2c^2 $$
$$ \iff 16\Delta^2 \leq 3a^2b^2c^2$$
$$ \iff R^2 \geq \dfrac{1}{3} $$
$$\iff \frac{a+b+c}{2(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C})} \geq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$
$$\iff \sin{A}+\sin{B}+\sin{C} \le \frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Jensenの不等式より明らか