a,b,c∈R+ab+a4b3+bc+b4c3+ca+c4a3≥32
ab+a4b3+bc+b4c3+ca+c4a3≥ ∑cycab+14a+34b=∑cyc4aa+7b≥32⟺∑cycaa+7b≥38⟺∑cyca2a2+7ab≥a2+b2+c2a2+b2+c2+7(ab+bc+ca)≥38⟺8(a2+b2+c2)≥8(ab+bc+ca)Muirheadの不等式より明らか
a,b,c∈R+,a+b+c=3(3−2a)(3−2b)(3−2c)≤a2b2c2
三角形の面積 外接円の半径Δ=(三角形の面積)=abc4R, R=(外接円の半径)とする(a+b+c)(3−2a)(3−2b)(3−2c)≤3a2b2c2⟺16Δ2≤3a2b2c2⟺R2≥13⟺a+b+c2(sinA+sinB+sinC)≥13⟺sinA+sinB+sinC≤332Jensenの不等式より明らか
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