cos(x)=log(x)をみたすxは無理数

$f(x)=\cos{x},g(x)=\log{x}$として,
このとき$x$の値によって場合分けする.
$[1]$ $x\leq0$のとき
$g(x)$が定義されていないので
題意をみたす$x$は存在しない.
$[2]$ $0< x\leqπ$のとき
$f(0)=1,\lim_{n\rightarrow0}g(n)=-\infty$より
$f(0)>\lim_{n\rightarrow0}g(n)$であり,
$f(π)=-1,g(π)=\logπ>0$より
$0< x\leqπ$のとき$f(π)>g(π)$である.
また$0< x\leqπ$の範囲において
$f’(x)=-\sin{x}<0,g’(x)=\frac{1}{x}>0$より
$f(x),g(x)$はそれぞれ単調減少,増加する.
よって題意をみたす$x$はただ$1$つ存在する.
$[3]$ $x>π$のとき
$e<π$より$g(π)=\logπ>1$であり,
$g(x)$は単調増加するので
$x>π$のとき$g(x)>1$が成り立つ.
また$f(x)\leq1$はつねに成り立つので
$f(x)< g(x)$が成り立つから
題意をみたす$x$は存在しない.
$[1]\sim[3]$より$\cos{x}=\log{x}$をみたす
$x$はただ$1$つ存在する. $\blacksquare$

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{3} x\in\mathbb{Q}\Rightarrow{f(x)}\in\mathbb{Q}\cdots(1)\\ x\in\mathbb{Q}\Rightarrow{f(x)}\notin\mathbb{Q}\cdots(2)\\ x\notin\mathbb{Q}\Rightarrow{f(x)}\in\mathbb{Q}\cdots(3)\\ x\notin\mathbb{Q}\Rightarrow{f(x)}\notin\mathbb{Q}\cdots(4) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
通常はこの$4$通りが存在するが
仮定より$(1)$はあり得ないので
$(2)\sim(4)$の場合のみ存在する.
またそのうち$(2)(3)$は
$x=f(x)$となり得ないので
$(4)$の場合のみ題意をみたす.
よって$x=f(x)$をみたす
実数$x$は無理数である. $\blacksquare$

関数$f(x)=e^x$の$n$次導関数は
$f^{(n)}(x)=e^x$となるので,
任意の整数$n$において$f^{(n)}(0)=1$
よってマクローリン展開の公式より
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
すなわち$x=1$のとき$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$となる.
このとき$e=\frac{b}{a}(a,b\in\mathbb{N})$として,
$\frac{b}{a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$より, 両辺に$a!$をかけて
$N=\sum_{n=0}^{a}\frac{a!}{n!}$とするとき
$(a-1)!b=N+\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{m=1}^{n}\frac{1}{a+m}$となる.
また$\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{m=1}^{n}\frac{1}{a+m}<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(a+1)^n}$なので
$(a-1)!b-N<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(a+1)^n}=\frac{1}{a}\leq1$より
$(a-1)!b-N$が自然数であることに矛盾する.
よって$e$は無理数である. $\blacksquare$