cos(x)=log(x)をみたすxは無理数

$f(x)=\cos x,g(x)=\log x$として,
このとき$x$の値によって場合分けする.
$[1]$ $x\le 0$のとき
$g(x)$が定義されていないので
題意をみたす$x$は存在しない.
$[2]$ $0<x\le \pi$のとき
$f(0)=1,\underset{n\to 0}{lim}g(n)=-\mathrm{\infty }$より
$f(0)>\underset{n\to 0}{lim}g(n)$であり,
$f(\pi )=-1,g(\pi )=\log \pi >0$より
$0<x\le \pi$のとき$f(\pi )>g(\pi )$である.
また$0<x\le \pi$の範囲において
$f^{\prime }(x)=-\sin x<0,g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}>0$より
$f(x),g(x)$はそれぞれ単調減少,増加する.
よって題意をみたす$x$はただ$1$つ存在する.
$[3]$ $x>\pi$のとき
$e<\pi$より$g(\pi )=\log \pi >1$であり,
$g(x)$は単調増加するので
$x>\pi$のとき$g(x)>1$が成り立つ.
また$f(x)\le 1$はつねに成り立つので
$f(x)<g(x)$が成り立つから
題意をみたす$x$は存在しない.
$[1]\sim [3]$より$\cos x=\log x$をみたす
$x$はただ$1$つ存在する. $◼$

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{}x\in \mathbb{Q}\Rightarrow f(x)\in \mathbb{Q}\cdots (1)\\ x\in \mathbb{Q}\Rightarrow f(x)\notin \mathbb{Q}\cdots (2)\\ x\notin \mathbb{Q}\Rightarrow f(x)\in \mathbb{Q}\cdots (3)\\ x\notin \mathbb{Q}\Rightarrow f(x)\notin \mathbb{Q}\cdots (4)\end{array}\end{array}$$
通常はこの$4$通りが存在するが
仮定より$(1)$はあり得ないので
$(2)\sim (4)$の場合のみ存在する.
またそのうち$(2)(3)$は
$x=f(x)$となり得ないので
$(4)$の場合のみ題意をみたす.
よって$x=f(x)$をみたす
実数$x$は無理数である. $◼$

関数$f(x)=e^x$の$n$次導関数は
$f^{(n)}(x)=e^x$となるので,
任意の整数$n$において$f^{(n)}(0)=1$
よってマクローリン展開の公式より
$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$
すなわち$x=1$のとき$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$となる.
このとき$e=\frac{b}{a}(a,b\in \mathbb{N})$として,
$\frac{b}{a}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$より, 両辺に$a!$をかけて
$N=\sum _{n=0}^a\frac{a!}{n!}$とするとき
$(a-1)!b=N+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\prod _{m=1}^n\frac{1}{a+m}$となる.
また$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\prod _{m=1}^n\frac{1}{a+m}<\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(a+1{)}^n}$なので
$(a-1)!b-N<\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(a+1{)}^n}=\frac{1}{a}\le 1$より
$(a-1)!b-N$が自然数であることに矛盾する.
よって$e$は無理数である. $◼$