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cos(x)=log(x)をみたすxは無理数

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$\cos{x}=\log{x}$をみたす$x$は無理数

$\cos{x}=\log{x}$をみたす実数$x$は無理数としてただ$1$つ存在する.

私が考えた数学の予想です.
この命題を証明をしようと1か月,
どうしても失敗し続けているので
諦め半分, その概要のみ投稿します.
できる人がいれば正確な証明お願いします.
では証明(概要のみ)というところですが,
その前にcos(x)=log(x)をみたすxが1つだけ
存在することの証明が必要となります.

$\cos{x}=\log{x}$をみたす実数$x$はただ$1$つ存在する.

$f(x)=\cos{x},g(x)=\log{x}$として,
このとき$x$の値によって場合分けする.
$[1]$ $x\leq0$のとき
$g(x)$が定義されていないので
題意をみたす$x$は存在しない.
$[2]$ $0< x\leqπ$のとき
$f(0)=1,\lim_{n\rightarrow0}g(n)=-\infty$より
$f(0)>\lim_{n\rightarrow0}g(n)$であり,
$f(π)=-1,g(π)=\logπ>0$より
$0< x\leqπ$のとき$f(π)>g(π)$である.
また$0< x\leqπ$の範囲において
$f’(x)=-\sin{x}<0,g’(x)=\frac{1}{x}>0$より
$f(x),g(x)$はそれぞれ単調減少,増加する.
よって題意をみたす$x$はただ$1$つ存在する.
$[3]$ $x>π$のとき
$e<π$より$g(π)=\logπ>1$であり,
$g(x)$は単調増加するので
$x>π$のとき$g(x)>1$が成り立つ.
また$f(x)\leq1$はつねに成り立つので
$f(x)< g(x)$が成り立つから
題意をみたす$x$は存在しない.
$[1]\sim[3]$より$\cos{x}=\log{x}$をみたす
$x$はただ$1$つ存在する. $\blacksquare$

次はいよいよ本題です.
正確な証明はできませんでしたが,
その大まかな流れは紹介します.

$\cos{x}=\log{x}$をみたす実数$x$は無理数である.

この命題の証明をするにあたって
まずは次の定理が必要となります.
自明と感じる人も多いと思いますが
一応証明は紹介しておきます.

$x$が有理数のとき$f(x)$が無理数であれば
$x=f(x)$をみたす実数$x$は無理数である.

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{3} x\in\mathbb{Q}\Rightarrow{f(x)}\in\mathbb{Q}\cdots(1)\\ x\in\mathbb{Q}\Rightarrow{f(x)}\notin\mathbb{Q}\cdots(2)\\ x\notin\mathbb{Q}\Rightarrow{f(x)}\in\mathbb{Q}\cdots(3)\\ x\notin\mathbb{Q}\Rightarrow{f(x)}\notin\mathbb{Q}\cdots(4) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
通常はこの$4$通りが存在するが
仮定より$(1)$はあり得ないので
$(2)\sim(4)$の場合のみ存在する.
またそのうち$(2)(3)$
$x=f(x)$となり得ないので
$(4)$の場合のみ題意をみたす.
よって$x=f(x)$をみたす
実数$x$は無理数である. $\blacksquare$

この定理を先ほどの命題に当てはめます.
cos(x)=log(x)をx=f(x)の形に
式変形すればできるようになります.

$\cos{x}=\log{x}$を式変形すると
$x=e^{\cos{x}}$となるので,
$x=f(x)$の形となり
先ほどの定理を使うことができる.

"xが有理数のときに
e^cos(x)が無理数であればよい"
ということがわかりましたが
ではこの証明はどうするのでしょうか.
私にはわからなかったので
証明案のみを投稿します.
正確な証明は誰かやってください.

マクローリン展開

$f(x)$$n$階微分を$f^{(n)}(x)$とするとき
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}f^{(n)}(0)\dfrac{x^n}{n!}$$
が成立する.

有名な定理で証明も難しいので
証明は省きますが,
e^cos(x)をマクローリン展開すると
証明できるのではないかと思いました.
というわけでe^cos(x)をマクローリン展開
といったところなのですが,
まずはマクローリン展開の手本として
eが無理数であることを証明します.

$e$は無理数である.

関数$f(x)=e^x$$n$次導関数は
$f^{(n)}(x)=e^x$となるので,
任意の整数$n$において$f^{(n)}(0)=1$
よってマクローリン展開の公式より
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
すなわち$x=1$のとき$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$となる.
このとき$e=\frac{b}{a}(a,b\in\mathbb{N})$として,
$\frac{b}{a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$より, 両辺に$a!$をかけて
$N=\sum_{n=0}^{a}\frac{a!}{n!}$とするとき
$(a-1)!b=N+\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{m=1}^{n}\frac{1}{a+m}$となる.
また$\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{m=1}^{n}\frac{1}{a+m}<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(a+1)^n}$なので
$(a-1)!b-N<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(a+1)^n}=\frac{1}{a}\leq1$より
$(a-1)!b-N$が自然数であることに矛盾する.
よって$e$は無理数である. $\blacksquare$

e^cos(x)をマクローリン級数展開して
その後に分数で表せないと証明する.
この操作が難しくできませんでしたが,
e^cos(x)のマクローリン展開を
途中まですることはできるので
それを紹介しようと思います.

$e^{\cos{x}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{ex^n}{n!}\cdot{a_n}$とするとき
$\lbrace{a_n}\rbrace=\lbrace{1,0,-1,0,1,0,-31,0,379,0,-6556,0,150349,0,-4373461,0,156297964,0,-6698486371,0,337789490599,\cdots}\rbrace$
$(n\geq0,n\in\mathbb{Z})$

証明はできていないので不確かですが,
nが奇数のときa_n=0ということはわかります.
またnが4の倍数のときa_n>0,
そうでないときa_n<0ということもわかります.
ここから証明できそうな気もするのですが
私にはできませんでした.
続きの証明は誰かお願いします.
最後にcos(x)=log(x)をみたす
実数xの小数表記を紹介します.

$\cos{x}=\log{x}$をみたす実数$x$
$1.3029640012160125525321143069733580253862199785962942111799929657676507417848401302803638230948727394\cdots$

投稿日:2022824

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OMC_Masterです. 中3生で京都の学校にいます. OnlineMathContestをやっていて, twitter, LINE VOOMに数学などの投稿をしています. フォローお願いします.

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