エジプト式単位分数展開

$k$の選び方から,
$$\frac{m}{n}<k+1<\frac{m}{n}+1$$
したがって,
$$n^{\prime }\leqq n-(m-nk)<n$$
となって分子は単調に減少するので,必ず有限の操作で終わる.

$m=n!\times q+r$ とおく.
$$k:=\left[\frac{m}{n}\right]=[(n-1)!\times q+\frac{r}{n}]=(n-1)!\times q+\left[\frac{r}{n}\right]$$
$$l:=\left[\frac{r}{n}\right]$$
とおくと,
$$\frac{n}{m}-\frac{1}{k+1}=\frac{n!\times q+nl+n-m}{m(k+1)}=\frac{n(l+1)-r}{m(k+1)}$$
$$\frac{n}{r}-\frac{1}{l+1}=\frac{n(l+1)-r}{r(l+1)}$$
分数を約分しなければ,分子は等しくなる.
そこで,$n^{\prime }=n(l+1)-r,m^{\prime }=m(k+1),r^{\prime }=r(l+1)$とおく.
$n^{\prime }<n$だから,$n^{\prime }!$は$(n-1)!$の約数である.
$m=n!\times q+r$だから,$m(k+1)$を$\mathrm{mod}{n}^{\prime }!$で考えると,
$m(k+1)\equiv r(l+1)\mathrm{mod}{n}^{\prime }!$
すなわち,
$m^{\prime }\equiv r^{\prime }\mathrm{mod}{n}^{\prime }!$
この条件の下で,
$$\frac{n^{\prime }}{m^{\prime }},\frac{n^{\prime }}{r^{\prime }}$$
について,強欲算法によって単位分数展開することになる.
したがって$n$についての数学的帰納法により証明できる.
[1]$n=2$のとき,強欲算法によって必ず項数２の単位分数展開ができるので$n=2$の場合には項数が等しい.
[2]$2\leqq n\leqq N$を満たす任意の整数$n$について定理２の主張が正しいと仮定する.
$n=N+1$について,上記の議論により,$n^{\prime }\leqq n-1=N$の場合に還元できるので,$2\leqq n\leqq N+1$を満たす任意の整数$n$についても定理２の主張は正しい.
[1][2]より,$n\geqq 2$を満たす全ての整数$n$について定理２の主張は正しい.