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五分解説 Riemann ゼータ函数と Fibonacci 数の無限級数

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ゼータ函数の母函数

実数の範囲$s>1$において, 級数
\begin{align} \zeta(s)=\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^s} \end{align}
は収束することがひろく知られています. これをリーマン Riemann のゼータ函数というのでした.

$\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\zeta(n+1)x^n=\sum_{n\geqslant1}\frac{x}{n(n-x)}.$

収束発散を気にする方は, 各辺を$x$の形式的冪級数ととらえてください.

ゼータ函数の定義式を代入して, 幾何級数 (等比級数) の公式をもちいる.
\begin{align} \sum_{n\geqslant1}\zeta(n+1)x^n&=\sum_{n\geqslant1}\sum_{m\geqslant1}\frac{x^n}{m^{n+1}}\\ &=\sum_{m\geqslant1}\frac{x}{m(m-x)}.\quad\Box \end{align}

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Fibonacci 数列の一般項

フィボナッチ Fibonacci 数列$(F_i)_{i\geqslant1}$を, $F_1=F_2=1$の初期値と$F_{i+2}=F_{i+1}+F_i$の漸化式によって定義します. 二次方程式$x^2=x+1$にたいする二個の解を
\begin{align} \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\quad\bar\phi=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{align}
とおきますと, 正の整数$i$について$\phi^{i+2}=\phi^{i+1}+\phi^i$および$\bar\phi^{i+2}=\bar\phi^{i+1}+\bar\phi^i$が成立し, それゆえに
\begin{align} (\phi^i)_{i\geqslant1}&=\phi^1,\ \phi^2,\ \phi^3,\ \ldots,\\ (\bar\phi^i)_{i\geqslant1}&=\bar\phi^1,\ \bar\phi^2,\ \bar\phi^3,\ \ldots \end{align}
という二本の幾何数列は, Fibonacci 数列とおなじ漸化式をもつことになります.

$F_n=\displaystyle\frac{\phi^n-\bar\phi^n}{\sqrt{5}}.$

$n=1$および$n=2$のときになりたつことは簡単. 両辺はおなじ漸化式にしたがう数列であるから, 帰納的に, $n\geqslant3$をとっても定理の式が成立する. $\quad\Box$

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ゼータ函数と Fibonacci 数の無限和

以降
\begin{align} \alpha=\frac{\phi}{\sqrt{5}},\quad\beta=\frac{\bar\phi}{\sqrt{5}} \end{align}
の記号をつかいます. 等式
\begin{align} \alpha-\beta=1 \end{align}
がたいせつです.

$\displaystyle\sum_{n\geqslant1}\frac{\zeta(n+1)F_n}{\sqrt{5}^n}=\phi.$

収束性についての考察は, 文字数の都合によりまして省略します.

母函数の表示に, $\alpha$$\beta$を代入する. すなわち,
\begin{align} \sum_{n\geqslant1}\frac{\zeta(n+1)F_n}{\sqrt{5}^n}&=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum_{n\geqslant1}\zeta(n+1)(\alpha^n-\beta^n)\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum_{n\geqslant1}\left(\frac{\alpha}{n(n-\alpha)}-\frac{\beta}{n(n-\beta)}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{n\geqslant1}\left(\frac{1}{n-\alpha}-\frac{1}{\,n\,}-\frac{1}{n-\beta}+\frac{1}{\,n\,}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum_{n\geqslant1}\left(\frac{1}{n-\alpha}-\frac{1}{n-\alpha+1}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{1-\alpha}-0\right)\\ &=-\frac{1}{\bar\phi}=\phi.\quad\Box \end{align}

以上, 解説におつきあい頂きましてありがとうございました.
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投稿日:2022830

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ゆう
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好きな整数は 0, 1, 1, φ, 2, 5, 6, 12, 89 など. || フィボナッチ数列 bot (@Aureus_N) 管理人. || hatena blog || indeterminate equations involving Fibonacci numbers || Disquisitiones Arithmeticae...

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