五分解説　Riemann ゼータ函数と Fibonacci 数の無限級数

ゼータ函数の母函数

実数の範囲$s>1$において, 級数
$$\begin{array}{r}\zeta (s)=\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^s}\end{array}$$
は収束することがひろく知られています. これをリーマン Riemann のゼータ函数というのでした.

収束発散を気にする方は, 各辺を$x$の形式的冪級数ととらえてください.

Fibonacci 数列の一般項

フィボナッチ Fibonacci 数列$(F_i{)}_{i⩾1}$を, $F_1=F_2=1$の初期値と$F_{i+2}=F_{i+1}+F_i$の漸化式によって定義します. 二次方程式$x^2=x+1$にたいする二個の解を
$$\begin{array}{r}\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\overline{\varphi }=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}$$
とおきますと, 正の整数$i$について${\varphi }^{i+2}={\varphi }^{i+1}+{\varphi }^i$および${\overline{\varphi }}^{i+2}={\overline{\varphi }}^{i+1}+{\overline{\varphi }}^i$が成立し, それゆえに
$$\begin{array}{rl}({\varphi }^i{)}_{i⩾1}& ={\varphi }^1,{\varphi }^2,{\varphi }^3,\dots ,\\ ({\overline{\varphi }}^i{)}_{i⩾1}& ={\overline{\varphi }}^1,{\overline{\varphi }}^2,{\overline{\varphi }}^3,\dots \end{array}$$
という二本の幾何数列は, Fibonacci 数列とおなじ漸化式をもつことになります.

ゼータ函数と Fibonacci 数の無限和

以降
$$\begin{array}{r}\alpha =\frac{\varphi }{\sqrt{5}},\beta =\frac{\overline{\varphi }}{\sqrt{5}}\end{array}$$
の記号をつかいます. 等式
$$\begin{array}{r}\alpha -\beta =1\end{array}$$
がたいせつです.

収束性についての考察は, 文字数の都合によりまして省略します.

以上, 解説におつきあい頂きましてありがとうございました.
$$
$$
$$
$$
$$
$$