算術導関数について

$n>1$のとき，$p_i(i=1,2,\cdots )$を素数の列($i$番目の素数を表すわけではない)とし，関数$N$を次のように定める．
$$N(m)=\prod _{i=1}^m{p}_i$$
任意の$n(>1)$に対し$m$と数列$\{p_i\}$が存在する．
定義から，
$$\begin{array}{rl}D(N(m+1))& =D(p_{m+1}N(m))\\ & =p_{m+1}D(N(m))+N(m)D(p_{m+1})\\ \therefore D(N(m+1))& =p_{m+1}D(N(m))+N(m)\end{array}$$
となる．これは漸化式とみなすことができる．$D(N(m))$の係数が$p_{m+1}$であることに注意すると，この漸化式の一般項は
$$\begin{array}{rl}D(N(m))& =(\prod _{i=2}^m{p}_i)D(N(1))+\sum _{i=1}^{m-1}N(i)\prod _{j=i+2}^m{p}_j\\ & =(\prod _{i=2}^m{p}_i)D(p_1)+\sum _{i=1}^{m-1}\prod _{j=1}^i{p}_j\prod _{j=i+2}^m{p}_j\\ & =(\prod _{i=2}^m{p}_i)+\sum _{i=1}^{m-1}\frac{N(m)}{p_{i+1}}\\ & =\frac{N(m)}{p_1}+\sum _{i=2}^m\frac{N(m)}{p_i}\\ \therefore D(N(m))& =N(m)\sum _{i=1}^m\frac{1}{p_i}\cdots (＊)\end{array}$$
となる．これは$m=1$のときでも成立する．$p_i$は$N(m)$の素因数であり，$p_i$と等しい値を取るものは$p_i$も含めて$v_{p_i}(N(m))$個あるため，(＊)式は次のように書き換えられる．
$$D(N(m))=N(m)\sum _{p|N(m),p\in \mathbb{P}}\frac{v_p(N(m))}{p}$$

$N(m)$を$n$で置き換えれば
$$\frac{D(n)}{n}=\sum _{p|n,p\in \mathbb{P}}\frac{v_p(n)}{p}(n>1)$$
を得る．
$n=1$のとき，$(左辺)=0,(右辺)=0$より$n=1$のときでも成立する．
よって，任意の自然数$n$で
$$\frac{D(n)}{n}=\sum _{p|n,p\in \mathbb{P}}\frac{v_p(n)}{p}$$
が成立する．