算術導関数について
算術導関数という関数があります．これに関して， Wikipedia で紹介されている等式の証明とは別の証明を思いついたので，紹介したく記事にしました。
算術導関数というのは，以下の計算規則をみたす関数$D$のことです．
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} D(0)=D(1)=0 \\ D(n)=1 \ \ n \in \mathbb{P} \\ D(mn)=mD(n)+nD(m) \ \ m,n\in \mathbb{N}. \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
Wikipediaは次の等式が成立すると言っています．
$$
\frac{D(n)}{n}=\sum_{p|n,p \in \mathbb{P}}\frac{v_p(n)}{p}
$$
$v_p(n)$は非負整数で，$n \equiv 0\pmod{p^{v_p(n)}}$かつ$n \not\equiv 0\pmod{p^{v_p(n)+1}}$をみたす．
特に，$\mathrm{gcd}(p,n)=1$なら，$v_p(n)=0$
これを定義から導出します．
$n \gt 1$のとき，$p_i \ (i=1,2,\cdots)$を素数の列($i$番目の素数を表すわけではない)とし，関数$N$を次のように定める．
$$
N(m)=\prod_{i=1}^m p_i
$$
任意の$n(\gt 1)$に対し$m$と数列$\lbrace p_i \rbrace$が存在する．
定義から，
$$
\begin{align}
D(N(m+1))&=D(p_{m+1}N(m)) \\
&=p_{m+1}D(N(m))+N(m)D(p_{m+1}) \\
\therefore D(N(m+1))&=p_{m+1}D(N(m))+N(m)
\end{align}
$$
となる．これは漸化式とみなすことができる．$D(N(m))$の係数が$p_{m+1}$であることに注意すると，この漸化式の一般項は
$$
\begin{align}
D(N(m))&=\bigg( \prod_{i=2}^m p_i \bigg)D(N(1))+\sum_{i=1}^{m-1}N(i)\prod_{j=i+2}^m p_j \\
&=\bigg(\prod_{i=2}^m p_i \bigg)D(p_1)+\sum_{i=1}^{m-1} \prod_{j=1}^i p_j \prod_{j=i+2}^m p_j \\
&=\bigg(\prod_{i=2}^m p_i \bigg)+\sum_{i=1}^{m-1} \frac{N(m)}{p_{i+1}} \\
&=\frac{N(m)}{p_1}+\sum_{i=2}^m \frac{N(m)}{p_i} \\
\therefore D(N(m))&=N(m)\sum_{i=1}^m \frac{1}{p_i} \ \ \ \cdots (＊)
\end{align}
$$
となる．これは$m=1$のときでも成立する．$p_i$は$N(m)$の素因数であり，$p_i$と等しい値を取るものは$p_i$も含めて$v_{p_i}(N(m))$個あるため，(＊)式は次のように書き換えられる．
$$
D(N(m))=N(m)\sum_{p|N(m),p \in \mathbb{P}} \frac{v_p(N(m))}{p}
$$
$N(m)$を$n$で置き換えれば
$$
\frac{D(n)}{n}=\sum_{p|n,p \in \mathbb{P}} \frac{v_p(n)}{p} \ \ \ (n \gt 1)
$$
を得る．
$n=1$のとき，$(左辺)=0, (右辺)=0$より$n=1$のときでも成立する．
よって，任意の自然数$n$で
$$
\frac{D(n)}{n}=\sum_{p|n,p \in \mathbb{P}}\frac{v_p(n)}{p}
$$
が成立する．
