「p以下の素数の総和」が素数である素数 p を求めよ（う）。

せっかく登録したので何か初記事でも書いておきましょうか。

　Twitter 上にはさまざまな数学問題bot（どちゃ楽など）があるのですが、その中でも 【問】bot というのはちょっと際立っていまして、未解決っぽい問題や、これは解けそうになさそうなもの（非解決問題？）とかまで収録されていまして。また、問題のカテゴリも「数学」とは限らなかったりします。

　その中の一問から。

【問】「p以下の素数の総和」が素数である素数pを求めよ。
https://twitter.com/toibot/status/1559537798356795392

　問題自体は$\mathbf{\text{中学数学}}$でも、理解できそうなところのものですが、全て求めることはとてもできそうにありません。「すべて求めよ」とまでは書いてないんですけどね。これを満たす素数もまた無限に存在しそうな$\mathbf{\text{「気はします」}}$が、$\mathbf{\text{「気がする」}}$だけでは$\mathbf{\text{「証明」}}$にはなりませんから。それにしても$\mathbf{\text{一般項}}$とかも求めることはできるのか？

　とりあえず、最初の十数個の素数について調べてみます。
　以後、素数の番号（何番目の素数）かを $n$、$n$ 番目の素数 を $p_n$、$p_n$ 以下の素数の総和を $\sum p_n$ と表します。

　※ 本当は素数の総和については $\sum _{k=1}^n{p}_k$ と書くべきなのですが。

　表を見ておわかりの通り、素数の中では $2$ だけが偶数であとは奇数ですので、$3$ 以上の奇数番目の素数までの総和においては総和も偶数となり（奇数を偶数回足し合わせているので）、$2$ で割り切れるわけでして、総和は素数とはなりえません。

　まぁ、とりあえず$\mathbf{\text{python}}$で実際に計算してみようということで。

      n = 1   # 素数の番号
p = 2   # n番目の素数
sum = 0   # p以下の素数の総和

# とりあえず打ち切るまでの回数を指定
while n < 1000:
    sum += p
    
    # 総和が素数であれば n, p, sum を表示する
    if isprime(sum):
        print(n, p, sum)
    n += 1
    p = nextprime(p)
    

　ここで isprime(sum) は sum が素数であるか否かを返す関数、nextprime(p) は pを超える最小の素数（pの次の素数）を返すものだと思ってください（以前作った自前のものを使いました）

　これの実行結果としては以下の通り。（1000番目の素数まで計算）
　この表（縦に長いですね）における、

• 1列目の数 $n$（素数の番号）については、オンライン整数列大辞典の A013916 ,
• 2列目の数 $p_n$（足し合わせる素数）については、 A013917 ,
• 3列目の数 $\sum p_n$（素数の総和）については、 A013918 ,
  と、連番で収められていました。

　問題で要求されている答えとしては、2列目の数列となるところでしょう。
　それにしても $p_{14}=43$ の次は $p_{60}=281$ と、初めの方にしてはずいぶん飛びますね。気になるのはそのあたりのみでしょうか。やはり $\mathbf{\text{無限に存在しそうな「気はします」}}$ がね……。
　昔からの某掲示板の匿名表記として有名な「$132$番目の素数」（$743$ つまり「ナナ・シ・サン」になるんですが）もそれ以下の素数の総和が $44683$ で素数となるようですね。