問題解答A

前書き

https://mathlog.info/articles/3460

の解説である。
より簡単な解法はあるかもしれない。
この解法はかなりお気に入りのものなので、至る所で出題したい。

必要知識

Zsigmondyの定理

解答

ある$n,m$が存在して${\displaystyle \frac{(n!{)}^m}{n^{n^n}-1}}$が整数になったとする。

$n=1,2$

$n=1,2$の場合については、代入することで整数にならないことが容易に分かる。以降$n\ge 3$と定める。

素因数の個数

正整数$n$に対し、$f(n),d(n)$でそれぞれ$n$の異なる素因数の個数、正の約数の個数を表す。

例えば、$f(30)=3,d(30)=8$である。

$f(m^n-1)$と$d(n)$

以下の補題を示す。

$f((n!{)}^m)$と$f(n^{n^n}-1)$

$f(n^{n^n}-1)\le f((n!{)}^m)$が必要である。なぜなら、$f(n^{n^n}-1)>f((n!{)}^m)$であったとすれば、$n^{n^n}-1$に含まれる素因数であって、$(n!{)}^m$に含まれない素因数が存在するからである。

このとき、$$d(n^n)-1\le f(n^{n^n}-1)$$及び
$$f((n!{)}^m)=f(n!)<n$$により、

$n<n$となるが、これは明らかに不合理。よって、${\displaystyle \frac{(n!{)}^m}{n^{n^n}-1}}$は整数にならない。