多変数漸化式

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$Ω = {1, 2, \dots, k}$ から１つの元を取り出す試行を考える．
どの数が出る確率も $\frac{1}{k}$ とする.
くり返し行い(反復試行), $j$ 回目に出る数を $X_{j}$ とする.
$X_{1} + \dots + X_{n - 1} < m$ かつ $X_{1} + \dots + X_{n} ≧ m$
となる確率,要するに総和が $n$ 回目で初めて $m$ 以上となる確率を $P_{n} (m)$ と表すことにする.
この確率について調べよ.

k = 2

$P_{1} (1) = 1$
$P_{1} (2) = \frac{1}{2}$
$P_{1} (m) = 0 (m > 2)$
$P_{2} (1) = 0$
$P_{2} (2) = \frac{1}{2}$
$P_{2} (3) = \frac{3}{4}$
$P_{2} (4) = \frac{1}{4}$
$P_{2} (m) = 0 (m > 4)$

以下 $k = 2$ の場合を考える.
$N_{n} (m) = 2^{n} P_{n} (m)$ の値を表にすると以下のようになる.

	$m = 1$	$m = 2$	$m = 3$	$m = 4$	$m = 5$	$m = 6$	$m = 7$	$m = 8$
$n = 1$	$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$n = 2$	$0$	$2$	$3$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$n = 3$	$0$	$0$	$2$	$5$	$4$	$1$	$0$	$0$
$n = 4$	$0$	$0$	$0$	$2$	$7$	$9$	$5$	$1$

(1) $N_{n} (m) = 0 (m < n, 2 n < m)$
(2) $N_{n} (n) = 2$
(3) $N_{n} (2 n) = 1$
(4) $N_{n} (m) = N_{n - 1} (m - 1) + N_{n - 1} (m - 2)$

$2, 1$
$2, 3, 1$
$2, 5, 4, 1$
$2, 7, 9, 5, 1,$
$2, 9, 16, 14, 6, 1$

$a_{1} (n) = 2 n - 1$ とおく.以下のように定める.
$a_{i + 1} (n) = \sum_{k = 1}^{n} a_{i} (k)$

$a_{0} (n) = 2$
$a_{1} (n) = 2 n - 1$
$a_{2} (n) = \sum (2 n - 1) = n (n + 1) - n = n^{2}$
$a_{3} (n) = \sum n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

$a_{i + 1} (n) = \sum \dots \sum (2 n - 1)$
$\sum = \sum_{n = 1}^{n}$ を $i$ 回施す.

Pascal の恒等式

$\sum_{n = k}^{m} (\binom{n}{k}) = (\binom{m + 1}{k + 1})$

$a_{i} (n) = (\binom{n + i - 1}{i}) + (\binom{n + i - 2}{i})$

$a_{1} (n) = 2 n - 1 = 2 (\binom{n}{1}) - 1$
$a_{2} (n) = \sum a_{1} (n) = 2 \sum (\binom{n}{1}) - \sum 1 = 2 (\binom{n + 1}{2}) - (\binom{n}{1})$
$a_{3} (n) = \sum a_{2} (n) = 2 (\binom{n + 2}{3}) - (\binom{n + 1}{2})$
$a_{i} (n) = 2 (\binom{n + i - 1}{i}) - (\binom{n + i - 2}{i - 1})$
ここで $(\binom{N}{K}) = (\binom{N - 1}{K}) + (\binom{N - 1}{K - 1})$ を利用する.
$a_{i} (n) = (\binom{n + i - 1}{i}) + (\binom{n + i - 2}{i})$

$n = 2 μ$ を固定するとき, $N_{n} (m)$ の値は $m = n + μ$ のとき最大となる.
この値は
$N_{n} (n + μ) = N_{2 μ} (3 μ) = a_{μ} (μ + 1) = (\binom{2 μ}{μ}) + (\binom{2 μ - 1}{μ}) = 3 (\binom{2 μ - 1}{μ - 1})$
となる.また,
$P_{n} (m) = \frac{N_{n} (m)}{2^{n}} = \frac{3}{4^{μ}} (\binom{2 μ - 1}{μ - 1})$

$a_{1} (2) = 3 (\binom{1}{0}) = 3, P_{2} (3) = \frac{3}{4}$
$a_{2} (3) = 3 (\binom{3}{1}) = 9, P_{4} (6) = \frac{9}{16}$
$a_{3} (4) = 3 (\binom{5}{2}) = 30, P_{6} (9) = \frac{30}{64}$

$\frac{3}{4^{m + 1}} (\binom{2 m + 1}{m}) = \frac{3}{4} \frac{3}{4} \frac{5}{6} \dots \frac{2 m + 1}{2 m + 2}$

$\prod_{ν = 1}^{\infty} (1 - \frac{1}{2 ν}) = 0$
したがって $P_{n} (m)$ の最大値は $n \to \infty$ で $0$ に収束する.

Gamma function

$Γ (z) = \frac{1}{z} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 + \frac{1}{n})^{z}}{1 + \frac{z}{n}}$
$Γ (- \frac{1}{2}) = - 2 \sqrt{π}$

$Γ (- \frac{1}{2}) = - 2 \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{\frac{n}{n + 1}}}{1 - \frac{1}{2 n}} = - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \prod_{k = 1}^{n} {(1 - \frac{1}{2 k})}^{- 1}$
よって
$\prod_{k = 1}^{\infty} (1 - \frac{1}{2 k}) = 0$

引用
第14回マスフェスタ＜全国数学生徒研究発表会＞2022年8月27日
横浜サイエンスフロンティア高等学校
＜すごろくの確率分布に現れる「峠の移動」を定式化する＞

投稿日：2022年9月5日

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