多変数漸化式
$\Omega =\{ 1,2,\cdots,k \}$から１つの元を取り出す試行を考える．
どの数が出る確率も$\frac{1}{k}$とする.
くり返し行い(反復試行),$j$回目に出る数を$X_j$とする.
$X_1+\cdots+X_{n-1} \lt m$かつ$X_1+\cdots +X_n \geqq m$
となる確率,要するに総和が$n$回目で初めて$m$以上となる確率を$P_n(m)$と表すことにする.
この確率について調べよ.
$P_1(1)=1$
$P_1(2)=\frac{1}{2}$
$P_1(m)=0 \ (m >2)$
$P_2(1)=0$
$P_2(2)=\frac{1}{2}$
$P_2(3)=\frac{3}{4}$
$P_2(4)=\frac{1}{4}$
$P_2(m)=0 \ (m >4)$
以下$k=2$の場合を考える.
$N_n(m)=2^nP_n(m)$の値を表にすると以下のようになる.
| $m=1$ | $m=2$ | $m=3$ | $m=4$ | $m=5$ | $m=6$ | $m=7$ | $m=8$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n=1$ | $2$ | $1$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $n=2$ | $0$ | $2$ | $3$ | $1$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $n=3$ | $0$ | $0$ | $2$ | $5$ | $4$ | $1$ | $0$ | $0$ |
| $n=4$ | $0$ | $0$ | $0$ | $2$ | $7$ | $9$ | $5$ | $1$ |
(1)$N_n(m)=0 \ (m< n,2n< m)$
(2)$N_n(n)=2$
(3)$N_n(2n)=1$
(4)$N_n(m)=N_{n-1}(m-1)+N_{n-1}(m-2)$
$2,1$
$2,3,1$
$2,5,4,1$
$2,7,9,5,1,$
$2,9,16,14,6,1$
$a_1(n)=2n-1$とおく.以下のように定める.
$$a_{i+1}(n)=\sum_{k=1}^{n} a_i(k)$$
$a_0(n)=2$
$a_1(n)=2n-1$
$a_2(n)=\sum(2n-1)=n(n+1)-n=n^2$
$a_3(n)=\sum n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$a_{i+1}(n)=\sum \cdots \sum (2n-1)$
$\sum=\sum_{n=1}^n$を$i$回施す.
$$\sum_{n=k}^m \binom{n}{k}=\binom{m+1}{k+1}$$
$$a_i(n)=\binom{n+i-1}{i}+\binom{n+i-2}{i}$$
$$a_1(n)=2n-1=2\binom{n}{1}-1$$
$$a_2(n)=\sum a_1(n)=2\sum \binom{n}{1}-\sum1=2\binom{n+1}{2}-\binom{n}{1}$$
$$a_3(n)=\sum a_2(n)=2\binom{n+2}{3}-\binom{n+1}{2}$$
$$a_i(n)=2\binom{n+i-1}{i}-\binom{n+i-2}{i-1}$$
ここで$\binom{N}{K}=\binom{N-1}{K}+\binom{N-1}{K-1}$を利用する.
$$a_i(n)=\binom{n+i-1}{i}+\binom{n+i-2}{i}$$
$n=2\mu$を固定するとき,$N_n(m)$の値は$m=n+\mu$のとき最大となる.
この値は
$$N_n(n+\mu)=N_{2\mu}(3\mu)=a_{\mu}(\mu+1)=\binom{2\mu}{\mu}+\binom{2\mu-1}{\mu}=3\binom{2\mu-1}{\mu-1}$$
となる.また,
$$P_n(m)=\frac{N_n(m)}{2^n}=\frac{3}{4^{\mu}}\binom{2\mu-1}{\mu-1}$$
$a_1(2)=3\binom{1}{0}=3,P_2(3)=\frac{3}{4}$
$a_2(3)=3\binom{3}{1}=9,P_4(6)=\frac{9}{16}$
$a_3(4)=3\binom{5}{2}=30,P_6(9)=\frac{30}{64}$
$$\frac{3}{4^{m+1}}\binom{2m+1}{m}=\frac{3}{4}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\cdots\frac{2m+1}{2m+2}$$
$$\prod_{\nu=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{1}{2\nu} \right )=0$$
したがって$P_n(m)$の最大値は$n \to \infty$で$0$に収束する.
$$\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}}$$
$\Gamma(-\frac{1}{2})=-2\sqrt{\pi}$
$$\Gamma \left (-\frac{1}{2} \right )=-2\prod_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{\frac{n}{n+1}}}{1-\frac{1}{2n}}=-2\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}\prod_{k=1}^{n}\left (1-\frac{1}{2k} \right )^{-1}$$
よって
$$\prod_{k=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{1}{2k} \right )=0$$
引用
第14回マスフェスタ＜全国数学生徒研究発表会＞2022年8月27日
横浜サイエンスフロンティア高等学校
＜すごろくの確率分布に現れる「峠の移動」を定式化する＞
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