Fibonacci 数の問題　20220907

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前提知識 : 特に無し.

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問題

注意. 既出の結果をふくんでいます.

注意. Lucas 数および Fibonacci 数の語は,
$\begin{aligned} (L_{n})_{n > 0} & = 1, 3, 4, 7, \dots x, y, x + y, \dots, \\ (F_{n})_{n > 0} & = 1, 1, 2, 3, \dots x, y, x + y, \dots \end{aligned}$
という数列にあらわれる整数のことをさします.

Fibonacci 数の有限和について, つぎの等式を証明してください.
$\begin{array}{r} \sum_{k = 1}^{k = n} (- 1)^{n - k} F_{2 k} F_{k}^{4} = \frac{F_{n}^{2}}{2} (F_{n + 3} F_{n}^{3} - 1) . \end{array}$
ただし上記の $n$ は正の整数をあらわします.

$p > 5$ なる素数 $p$ にたいして, つぎの合同式がなりたつことを証明してください.
$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{n = p - 1} \frac{F_{n}}{n} \equiv \sum_{n = 1}^{n = p - 1} \frac{L_{n}}{n^{2}} \equiv 0 (\mod . p) . \end{array}$

つぎの条件をみたす正の整数 $n$ をすべて挙げてください.
　条件. 数列 $1, 1, 2, 3, \dots$ のなかで, 第 $n$ 項にはじめて $n$ の倍数があらわれる.

以上.

ひとつでも答えがわかった方は, ぜひ記事をかいてご報告ください.
Twitter アカウントのフィボナッチ数列 bot (@Aureus_N) になにかヒントがあるかも知れません.
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投稿日：2022年9月7日

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好きな整数は 0, 1, 1, φ, 2, 5, 6, 12, 89 など. || フィボナッチ数列 bot (@Aureus_N) 管理人. || hatena blog || indeterminate equations involving Fibonacci numbers || Disquisitiones Arithmeticae...

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