Fibonacci 数の問題 20220907
前提知識 : 特に無し.
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
問題
注意. 既出の結果をふくんでいます.
注意. Lucas 数および Fibonacci 数の語は,
\begin{align}
(L_n)_{n>0}&=1,\ 3,\ 4,\ 7,\ \ldots\ x,\ y,\ x+y,\ \ldots,\\
(F_n)_{n>0}&=1,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\ x,\ y,\ x+y,\ \ldots
\end{align}
という数列にあらわれる整数のことをさします.
Fibonacci 数の有限和について, つぎの等式を証明してください.
\begin{align}
\sum_{k=1}^{k=n}(-1)^{n-k}F_{2k}F_k^4=\frac{F_n^2}{2}(F_{n+3}F_n^3-1).
\end{align}
ただし上記の$n$は正の整数をあらわします.
$p>5$なる素数$p$にたいして, つぎの合同式がなりたつことを証明してください.
\begin{align}
\sum_{n=1}^{n=p-1}\frac{F_n}{n}\equiv\sum_{n=1}^{n=p-1}\frac{L_n}{n^2}\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.p).
\end{align}
つぎの条件をみたす正の整数$n$をすべて挙げてください.
条件. 数列$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$のなかで, 第$n$項にはじめて$n$の倍数があらわれる.
以上.
ひとつでも答えがわかった方は, ぜひ記事をかいてご報告ください.
Twitter アカウントのフィボナッチ数列 bot (@Aureus_N) になにかヒントがあるかも知れません.
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
