12

√51

519
0
$$$$

$ \sqrt{51} $は小数表記すると$7.141428428542849997999399811...$となるのですが、なんかやたらと$9$が続いたり$14$$28$が繰り返されたりと少し奇妙な感じがします。

これは逆数を取ってみると分かりやすくなります。

$$ \frac{1}{\sqrt{51}}=0.140028008402800980... $$

何やら$0$に挟まれて規則性のある数列が現れているように見えます。$14$$28$$84$などはすべて$14$の倍数となっています。両辺を$14$で割ってみると

$$ \frac{1}{14\sqrt{51}}=0.0100020006002000700... $$

$1,2,6,20,70,...$は中心二項係数${}_{2n}\mathrm{C}_n$です。まあ、ルートですし察しのいい方はすぐにわかったことでしょう。実はこういうことでした。

$$ \frac{1}{14\sqrt{51}}=\frac{1}{100}\sum_{n=0}^\infty\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{10000^n} $$

これは有名な式
$$ \frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{4^n}x^n $$
$x=\frac{1}{2500}$を突っ込んでなんやかんやしたものですが、$2500=50^2$であることと、$50-1=49=7^2$であることから結構ルートの中の数字が小さくなって$\sqrt{51}$が現れるために(10進法での)小数表記がなんか面白いことになるのでした。めでたしめでたし。

あとがき

電卓で遊んでるとこういうしょうもないことに気づいてしまう。$\log{\pi}$$\sqrt[3]{\frac32}$に近いとか...。

投稿日:2022910

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furumichi
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数学科でもないしロクな大学受かったわけでもないしガッコーのお勉強なんかむしろサボりまくってるけれどちょっと面白い話がしたかっただけの一般人です。

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