√51

$ \sqrt{51} $は小数表記すると$7.141428428542849997999399811...$となるのですが、なんかやたらと$9$が続いたり$14$や$28$が繰り返されたりと少し奇妙な感じがします。

これは逆数を取ってみると分かりやすくなります。

$$ \frac{1}{\sqrt{51}}=0.140028008402800980... $$

何やら$0$に挟まれて規則性のある数列が現れているように見えます。$14$、$28$、$84$などはすべて$14$の倍数となっています。両辺を$14$で割ってみると

$$ \frac{1}{14\sqrt{51}}=0.0100020006002000700... $$

$1,2,6,20,70,...$は中心二項係数${}_{2n}\mathrm{C}_n$です。まあ、ルートですし察しのいい方はすぐにわかったことでしょう。実はこういうことでした。

$$ \frac{1}{14\sqrt{51}}=\frac{1}{100}\sum_{n=0}^\infty\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{10000^n} $$

これは有名な式
$$ \frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{4^n}x^n $$
に$x=\frac{1}{2500}$を突っ込んでなんやかんやしたものですが、$2500=50^2$であることと、$50-1=49=7^2$であることから結構ルートの中の数字が小さくなって$\sqrt{51}$が現れるために（１０進法での）小数表記がなんか面白いことになるのでした。めでたしめでたし。

あとがき

電卓で遊んでるとこういうしょうもないことに気づいてしまう。$\log{\pi}$が$\sqrt[3]{\frac32}$に近いとか...。