(相乗平均)≦(対数平均)≦(相加平均)とモローの不等式

$f'$が狭義単調増加の場合の証明を書く。
$f(x)=f(c)+\int_c^x f'(t)dt.$
(曲線y=f(x)を折れ線近似して極限をとった等式？)
と書ける。(i) $c< x$のとき$f'(c)< f'(x)$であるから積分の単調性より、$$f(x)>f(c)+\int_c^x f'(c)dx=f'(c)(x-c)+f(c).$$
(ii)$x< c$のときも同様である。
(iii)x=cのとき等式が成立することは明らかである。

不等式$\sinh x>x>\tanh x$ $(0< x)$において、$x$を$\log x$で置き換える。
\begin{align*} \frac{x-\frac{1}{x}}{2}>\log x >\frac{x-\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}\quad (1< x) \end{align*}
$0< a< b$として$x=b/a$と置いてみる。不等式は
\begin{align*} \frac{b^2-a^2}{2ab}>\frac{\log b^2 - \log a^2}{2} >\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2} \end{align*}
と書ける。
$a$, $b$をそれぞれ$\sqrt{a}$, $\sqrt{b}$で置き換えて、$b-a>0$で割ると、
\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{ab}}>\frac{\log b -\log a}{b-a}>\frac{2}{a+b}. \end{align*}
各辺は正であるから、逆数をとると不等号の向きが逆になり、定理の不等式が得られる。

$c=\int_a^b g(x)p(x)\,dx$とおく。$p$に関する条件から$c$は$f$の定義域($g([a,b])$を含む区間)の点であることに注意する。命題3より、
$$f(g(x))\geqq f'(c)(g(x)-c)+f(c)$$
が成立する。両辺に$p(x)(>0)$を掛けて、$x$に関して$a$から$b$まで積分すればよい。

証明は積分形と同様にできる。積分形とは$x_i\leftrightarrow g(x)$, $p_i\leftrightarrow p(x)$と対応する。積分形で数え上げ測度をとったものと考えてもよい。

左側の不等式は$g(x)=x$, $p(x)=1/(b-a)$としてイェンセンの不等式を適用すればよい。右側の不等式を示す。イェンセンの不等式より、
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leqq \frac{f(x)+f(y)}{2}$$
が成立することに注意する。
\begin{align} \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx &=\frac{1}{b-a}\int_a^b \frac{f(x)+f(a+b-x)}{2}\,dx\\ &\leqq \frac{1}{b-a}\int_a^b f\left(\frac{a+b}{2}\right)\,dx\\ &=f\left(\frac{a+b}{2}\right). \end{align}

\begin{align*} \log \left(1+\frac{1}{n}\right)^n &=n\log(n+1)-n\log n \\ &=\int_n^{n+1}\log x \,dx - \log (n+1) + 1\\ &=\int_n^{n+1}\log\frac{ex}{n+1}\,dx \end{align*}
Hermite-Hadamardの不等式より、
\begin{align*} \frac{1}{2}\left(\log\frac{e(n+1)}{n+1}+\log\frac{en}{n+1}\right)&<\int_n^{n+1}\log\frac{ex}{n+1}\,dx\\ &\qquad\qquad<\log\left(\int_n^{n+1}\frac{ex}{n+1}\,dx\right). \end{align*}
すなわち、
\begin{align*} \log\frac{e}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} <\log \left(1+\frac{1}{n}\right)^n <\log\left(\frac{(2n+1)e}{2n+2}\right). \end{align*}
左辺に
$$\sqrt{1+\frac{1}{n}}<1+\frac{1}{2n}$$
を使い、真数を比較するとモローの不等式が得られる。

$x=\log a, y=\log b$と置いてHermite-Hadamardの不等式を適用すればよい。

$\log b -\log a=\int_a^b dx/x.$
$a$と$b$の調和平均を$H:=\frac{2ab}{a+b}$とおく。
Hermite-Hadamardの不等式より、
$$ H\leqq L \leqq A $$
が得られる。失敗したかと思うが、あきらめないで、左側の不等式で$a,b$を$\sqrt{a},\sqrt{b}$で置き換えて、$\sqrt{a}+\sqrt{b}$を掛ければよい。
（なぜ指数関数に対してHermite-Hadamardの不等式を適用する方が上手くいくのか？？）

対数平均に関する不等式(定理1)より、
\begin{align} \frac{2n}{2n+1}<\log \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\frac{n}{\sqrt{n(n+1)}} \end{align}
左側の不等式と$x>\log(ex)$から、
\begin{align} \frac{2ne}{2n+1}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^n. \end{align}
右側の不等式を考える。
\begin{align*} \frac{n}{\sqrt{n(n+1)}} &=\sqrt{1-\frac{1}{n+1}}\\ &=1-\int_0^{\frac{1}{n+1}}\frac{1}{\sqrt{2(1-x)}}\,dx\\ &<1-\int_0^{\frac{1}{n+1}}\frac{1}{2-x}\,dx\\ &=\log\frac{(2n+1)e}{2n+2}. \end{align*}
よって、モローの不等式の右側
$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\frac{(2n+1)e}{2n+2} $$
が得られる。

モローの不等式の右側
$$ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x<\frac{2x+1}{2x+2}e $$
は次のように変形できる。
$$ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2}} <\frac{2x+1}{2\sqrt{x(x+1)}}e. $$
右辺に不等式$ex\leqq e^x$を適用すると、
$$ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2}} < e^{\frac{2x+1}{2\sqrt{x(x+1)}}}. $$
対数をとって整理すると、
$$ \log(x+1)-\log x<\frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}. $$
したがって、
$$ \sqrt{x(x+1)}<\frac{1}{\log(x+1)-\log x}. $$
$0< a< b$の場合を考えればよい。$x=\frac{a}{b-a}$とおくと、$$G< L$$を得る。モローの不等式の左側
$$ \frac{2xe}{2x+1} < \left(1+\frac{1}{x}\right)^x $$
から
$$ e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2}} $$
が得られることは上記の注意で示した。対数をとって整理すると、
$$ \frac{1}{\log(x+1)-\log x} < \frac{2x+1}{2} $$
$x=\frac{a}{b-a}$とおくと、$$L< A$$を得る。