ライプニッツの公式を級数で示す

ディリクレベータ関数の特殊値、$$\beta(1)=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac{\pi}{4}$$ を級数変形のみで求めることができました。ネットを探しても全然見つかりませんでしたが容易だったので既出だと思います。

　まず２乗して、変数の大小で分解します。
$$ \begin{align} 　\beta(1)^2&=\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}\\ &=\sum_{0\leq m< n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}+\sum_{0\leq n< m}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}+\sum_{0\leq m=n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}\\ &=2\sum_{0\leq m< n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}+\sum_{0\leq m}\frac{1}{(2m+1)^2}\\ &=2\sum_{0\leq m< n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}+\frac{3}{4}\zeta(2)　\cdots(1) \end{align} $$
　次に、部分分数分解などで変形します。
$$　\frac{1}{(m+\frac{1}{2})(n+\frac{1}{2})}=\frac{1}{(m+\frac{1}{2})(m+n+1)}+\frac{1}{(n+\frac{1}{2})(m+n+1)}　$$
　を使用しています。
$$ \begin{align} 　\beta(1)^2&=\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}\\ &=\frac{1}{4}\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{(m+\frac{1}{2})(n+\frac{1}{2})}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{(m+\frac{1}{2})(m+n+1)}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{0\leq m\leq n}\frac{(-1)^n}{(m+\frac{1}{2})(n+1)}\\ &=\sum_{0\leq m\leq n}\frac{(-1)^n}{(2m+1)(n+1)}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+1}\sum_{m=0}^n\frac{1}{2m+1}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+1}\sum_{0\leq m}\left(\frac{1}{2m+1}-\frac{1}{2m+2n+3}\right)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n+1}\sum_{0\leq m}\frac{2(n+1)}{(2m+1)(2m+2n+3)}\\ &=2\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^n}{(2m+1)(2m+2n+3)}\\ &=2\sum_{0\leq m\leq n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+3)}\\ &=2\sum_{0\leq m< n}\frac{(-1)^{m+n-1}}{(2m+1)(2n+1)}\\ &=-2\sum_{0\leq m< n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}　\cdots(2) \end{align} $$
　$(1), (2)$より、
$$ \begin{align} 　-2\sum_{0\leq m< n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}&=2\sum_{0\leq m< n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}+\frac{3}{4}\zeta(2)\\ 　-4\sum_{0\leq m< n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}&=\frac{3}{4}\zeta(2)\\ \sum_{0\leq m< n}\frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}&=-\frac{3}{16}\zeta(2)　\cdots(3) \end{align} $$
　$(2), (3)$より、
$$\beta(1)^2=\frac{3}{8}\zeta(2)=\frac{\pi^2}{16}$$
　したがって、
$$\beta(1)=\frac{\pi}{4}$$

何だかあっさり示せてしまいましたが、この方法は一般化が難しそうです。値は正しいので、間違ってはいないと思いますが何かあれば教えてください。