ライプニッツの公式を級数で示す

ディリクレベータ関数の特殊値、$$\beta (1)=\sum _{0\le n}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}$$ を級数変形のみで求めることができました。ネットを探しても全然見つかりませんでしたが容易だったので既出だと思います。

　まず２乗して、変数の大小で分解します。
$$\begin{array}{rl} \beta (1{)}^2& =\sum _{0\le m,n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}\\ & =\sum _{0\le m<n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}+\sum _{0\le n<m}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}+\sum _{0\le m=n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}\\ & =2\sum _{0\le m<n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}+\sum _{0\le m}\frac{1}{(2m+1{)}^2}\\ & =2\sum _{0\le m<n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}+\frac{3}{4}\zeta (2) \cdots (1)\end{array}$$
　次に、部分分数分解などで変形します。
$$\frac{1}{(m+\frac{1}{2})(n+\frac{1}{2})}=\frac{1}{(m+\frac{1}{2})(m+n+1)}+\frac{1}{(n+\frac{1}{2})(m+n+1)}$$
　を使用しています。
$$\begin{array}{rl} \beta (1{)}^2& =\sum _{0\le m,n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}\\ & =\frac{1}{4}\sum _{0\le m,n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(m+\frac{1}{2})(n+\frac{1}{2})}\\ & =\frac{1}{2}\sum _{0\le m,n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(m+\frac{1}{2})(m+n+1)}\\ & =\frac{1}{2}\sum _{0\le m\le n}\frac{(-1{)}^n}{(m+\frac{1}{2})(n+1)}\\ & =\sum _{0\le m\le n}\frac{(-1{)}^n}{(2m+1)(n+1)}\\ & =\sum _{0\le n}\frac{(-1{)}^n}{n+1}\sum _{m=0}^n\frac{1}{2m+1}\\ & =\sum _{0\le n}\frac{(-1{)}^n}{n+1}\sum _{0\le m}(\frac{1}{2m+1}-\frac{1}{2m+2n+3})\\ & =\sum _{0\le n}\frac{(-1{)}^n}{n+1}\sum _{0\le m}\frac{2(n+1)}{(2m+1)(2m+2n+3)}\\ & =2\sum _{0\le m,n}\frac{(-1{)}^n}{(2m+1)(2m+2n+3)}\\ & =2\sum _{0\le m\le n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+3)}\\ & =2\sum _{0\le m<n}\frac{(-1{)}^{m+n-1}}{(2m+1)(2n+1)}\\ & =-2\sum _{0\le m<n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)} \cdots (2)\end{array}$$
　$(1),(2)$より、
$$\begin{array}{rl} -2\sum _{0\le m<n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}& =2\sum _{0\le m<n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}+\frac{3}{4}\zeta (2)\\ -4\sum _{0\le m<n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}& =\frac{3}{4}\zeta (2)\\ \sum _{0\le m<n}\frac{(-1{)}^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}& =-\frac{3}{16}\zeta (2) \cdots (3)\end{array}$$
　$(2),(3)$より、
$$\beta (1{)}^2=\frac{3}{8}\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{16}$$
　したがって、
$$\beta (1)=\frac{\pi }{4}$$

何だかあっさり示せてしまいましたが、この方法は一般化が難しそうです。値は正しいので、間違ってはいないと思いますが何かあれば教えてください。