身近な数学(ガチャ)

とあるモンスターの排出率は$1$%であるようなガチャを考える。このガチャを$n$回回すとき、このモンスターが少なくとも1体出る確率が$90$%を上回るような$n$の最小値を求めよ。
ただし、$log_{10}3=04771$,$log_{10}1.1=0.0414$とする。

【解答】
余事象を考えると、このモンスターが少なくとも1体出るような確率は、$1-{(\frac{99}{100})}^n$と表せる。これが$0.9$より大きいから、$1-{(\frac{99}{100})}^n>0.9$
${(\frac{99}{100})}^n<0.1$
両辺の常用対数を取ることで
$n(2log_{10}3+log_{10}1.1-1)<-1$
$-0.0044n<-1$
$n>\frac{1}{0.0044}=227.2727···$
よって求める$n$の最小値は228である。