積分

$I_{n} := \int_{1}^{e} \ln^{n} x d x$

$\begin{aligned} I_{n} & = \int_{1}^{e} \ln^{n} x d x \\ = {[x \ln^{n} x]}_{1}^{e} - n \int_{1}^{e} \ln^{n - 1} x d x \\ = e - n I_{n - 1} \end{aligned}$
両辺を $n!$ で割ると、
$\begin{aligned} \frac{I_{n}}{n!} & = \frac{e}{n!} - \frac{I_{n - 1}}{(n - 1)!} \end{aligned}$
$\frac{I_{n}}{n!}$ を新しく $a_{n}$ とおくと、 $a_{n}$ は漸化式 $a_{n} = \frac{e}{n!} - a_{n - 1}$ を満たす。よって $a_{n}$ は
$\begin{aligned} a_{n} & = \frac{e}{n!} - \frac{e}{(n - 1)!} + \dots + \frac{(- 1)^{n - 1} e}{1!} + (- 1)^{n} a_{0} \\ = (- 1)^{n} (a_{0} + e \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!}) \\ = (- 1)^{n} (- 1 + e \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!}) \\ = (- 1)^{n} (- 1 + e \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{(n - k)}}{(n - k)!}) \end{aligned}$
と計算できる。これに $n!$ をかけることで
$I_{n} = (- 1)^{n + 1} n! + e \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k}_{n} P_{k}$
である。

$lim_{n \to \infty} I_{n} = 0$

すべての正の整数 $n$ について、 $x \in [1, e]$ ならば $| \ln x | \leq 1$ である。定数関数 $1$ は $[1, e]$ 上可積分なので優収束定理より積分と極限は交換できて、
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} I_{n} & = lim_{n \to \infty} \int_{1}^{e} \ln^{n} x d x \\ = \int_{1}^{e} lim_{n \to \infty} \ln^{n} x d x \\ = 0 \end{aligned}$
である。

明らかに $I_{n}$ は単調減少で、 $I_{n}$ は $e$ の整数係数の一次式で書けるから、 $e$ の値を有理数で評価できる。

$I_{6} = 265 e - 720 > 0$ より $e > \frac{720}{265} = \frac{144}{53} > 2.7169$ である。
$I_{7} = 5040 - 1854 e > 0$ より $e < \frac{5040}{1854} = \frac{280}{103} < 2.7185$ である。

手計算でそれなりの精度が得られる。
次の定理にこの $I_{n}$ を使った証明を与える。

$e$ は無理数である。

$e \in Q$ と仮定する。 $e > 0$ なので、互いに素な正の整数 $p, q$ が存在して $e = \frac{p}{q}$ を満たす。 $I_{n}$ は $e$ の整数係数一次多項式なので、 $I_{n} \in \frac{1}{q} Z$ であり、 $I_{n}$ は単調減少なので、十分大きい $N$ で $0 < I_{N} < \frac{1}{q}$ を満たす。しかし、これは $I_{n} \in \frac{1}{q} Z$ に反する。よって $e \notin Q$ である。

投稿日：2022年9月24日

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Ιδέα

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