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高校数学解説
文献あり

クサ゠スネル゠ホイヘンスの不等式

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幾何学的なことを書かなかったので、特に面白みは無い記事です。よくありそうな不等式の基本的な証明問題ですが、ホイヘンスの名前を出して、日本語で、高校数学として解説しているものがあまりネットにないと感じたので証明を書いてみました。円周率の昔の計算に使われたようです。背景や幾何学的なことは参考文献[1]が詳しいと思います。また[3]が分かりやすいと思います。

0<x<π2のとき、
3sinx2+cosx<x<tanx+2sinx3,
すなわち、
sinxxcosx<2(xsinx)<tanxx
が成り立つ。

この定理を証明する前に補題を用意します。

0<x<π2のとき、
xcosx<sinx<x<tanx
が成り立つ。

0<x<π2で補題の不等式で、xcosx<sinxx<tanxと同値です。
limx0sinxx=1
の証明に良く使われます。この極限から三角関数の導関数の公式が導かれます。補題の不等式を使わないで三角関数の導関数の公式を導くこともできるので、補題を証明する際に普通に微分、積分を使う方法が悪いとは言えません。しかし、循環論法に注意しながら考えたくないので、補題の証明は省略します。

定理の証明

tanxx=0x(1cos2t1)dtxsinx=0x(1cost)dtsinxxcosx=0xtsintdt
が成り立つ。
tanxx=0x(1cos2t+1cost)(1cost)dt>0x(1cos20+1cos0)(1cost)dt=2(xsinx)=40xsin2t2dt(半角の公式)>20xtcost2sint2dt(補題を利用)=0xtsintdt(倍角の公式)=sinxxcosx.
xについて整理すれば、
3sinx2+cosx<x<tanx+2sinx3
が得られる。

上からの評価はsinxtanxのマクローリン展開、下からの評価はsinxxcosxのマクローリン展開を比べてみると良いと思います。

追記
東大の入試問題でπ>3.05を示せという問題があったことを思い出して、「π>3.05」と「ホイヘンス」で検索してみました。ブログ[2]や5chの書き込みでこの不等式を使っているものが見つかりました。しかしやはり少ない気がしました。(この不等式が大して役に立たないからだと思いますが)
π>3.05
3sinx2+cosx<x
を使って確かめてみます。

x=π6を代入すると、
π>364+3>184+1.8=18058=9029=3+329>3+330=3.1.

双曲線関数の場合

sinhθ=eθeθ2,coshθ=eθ+eθ2tanhθ=sinhθcoshθ=eθeθeθ+eθ

任意のxに対して、
cosh2xsinh2x=1
が成り立つ。

(x,y)=(coshθ,sinhθ)
は双曲線のパラメータ表示である。

任意の実数xに対して、
coshx1.
等号はx=0のときに限り成立する。

coshx=ex+ex2>0であるから、
coshx=sinh2x+11.
また、
coshx=1sinhx=0ex=exx=xx=0.

加法定理

任意のx, yに対して、
cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy,sinh(x+y)=sinhxcoshy+sinhycoshx,tanh(x+y)=tanhx+tanhy1+tanhxtanhy
が成り立つ。特に、
cosh(2x)=cosh2x+sinh2x=1+2sinh2x=2cosh2x1,cosh2x=cosh(2x)+12,sinh2x=cosh(2x)12,sinh(2x)=2sinhxcoshx.

任意のxに対して、
(sinhx)=coshx,(coshx)=sinhx,(tanhx)=1cosh2x

0<xのとき、
tanhx<x<sinhx<xcoshx

xtanhx<2(sinhxx)<xcoshxsinhx
が成り立つ。

xcoshxsinhx=0xtsinhtdt=0x2tcosht2sinht2dt(>0)>40xsinh2t2dt=20x(cosht1)dt=2(sinhxx)>0x(cosht1)(1cosht+1cosh2t)dt=0xcosh2t1cosh2tdt=0x(11cosh2t)dt=xtanhx>0.

参考文献

投稿日:2022926
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NEKO
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