競技数学典型/数式に直すことの重要性(JJMO2022本選より)

目次

1. はじめに
2. 問題
3. 解説

1.はじめに

今回はJJMOの面白い問題を解説していきたいと思います.この問題は競技数学の典型的な問題の一つです.出来るだけわかりやすいように,自分がどう考えたのかも載せていこうと思います.

2.問題

3.解説

第一印象

まずは直感で良いので答えを予想してみましょう.僕は流石に6つは無理だろうから3つくらいかなと予想しました.こういった問題は最初にどこから手をつけて良いのかがわかりにくいですが,一旦手を動かせば割と容易に解けることが多いです.あとは,この手の問題は必要条件で最大数を絞って,実際にそれが構成できることを示すのが定番です.

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式を立ててみる

とりあえず眺めていても仕方ないので手を動かします.まずは,少なくとも1つの式は$1$にすることができるのは明らかですよね.そこから手をつけていきましょう.上記の6つの式は対称なので$ax+by+cz=1$としても一般性を失わないです.さて,ここから残りの5つの式の挙動を見ていきます.

例えば,$ax+bz+cy=1$と仮定してみましょう.すると,$by+cz=bz+cy$が成り立ち,$(b-c)(y-z)=0$が成り立ちます.しかし,$a,b,c,x,y,z$は全て相異なるのでこれは矛盾ですね.従って,$ax+bz+cy$は$1$ではないことが示されました.同様に,$az+by+cx,ay+bx+cz$も$1$とならないことがわかります.従って,$1$としてありうる最大数は3以下であるとわかりました.あとは,残りの2式に注目してみましょう.

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実験して予想する

$ay+bz+cx,az+bx+cy$の2式が共に$1$となることがあるかを考えてみましょう.これは直感ですが,全体で2式だけなら$1$にすることはできそうです.しかし,3式はどうでしょう...?仮に3式全てが$1$となることがあったら少なくとも以下の連立方程式を解かなければなりません.

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ax+by+cz=1 \ \cdots① \\ ay+bz+cx=1 \ \cdots② \\ az+bx+cy=1 \ \cdots③ \end{array} \right. \end{eqnarray} $

これは少し大変ですね.できれば解きたくないです.ということでまずはこの状況が起きないことを示していきましょう.(最大数が2なのか3なのかはある程度実験して目星を立てましょう.今回は実験して連立方程式がなかなか解けなかったので一旦矛盾を示す方針を選択しました.)

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式を足したり引いたり

従って,$ax+by+cz=1, \ ay+bz+cx=1, \ az+bx+cy=1$と仮定します.とりあえず式を足したり引いたりしてみましょう.①-②,②-③,③-①を考えます.

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a(x-y)+b(y-z)+c(z-x)=0 \cdots④ \\ b(x-y)+c(y-z)+a(z-x)=0 \cdots⑤ \\ c(x-y)+a(y-z)+b(z-x)=0 \cdots⑥ \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $

う〜ん特に何も得られませんね.もっとうまく因数分解されていると楽なんですがね.もう少しだけ式をいじってみましょう.例えば,④-⑤を考えてみましょう.

$④-⑤: (a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x)=0$

因数分解できましたね.ここで,対称性を利用して大小関係をうまく設定してやりましょう.$a< b< c,x< y< z$として正負を見ていきます.

$(a-b)(x-y)>0, \ (b-c)(y-z)>0, \ (c-a)(z-x)>0$であるので矛盾ですね.よって,最大数が2以下であることが示されました.あとは構成するだけです.

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構成する

以下の方程式を満たす相異なる$a,b,c,x,y,z$を見つけれれば勝ちです.
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ax+by+cz=1 \\ ay+bz+cx=1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

とりあえず,この式を満たすような数は無限にありそうなので適当に値を決めて行ってもいけそうですね.例えば,$0$を利用しましょうか.$a=0$を代入します.すると,$by+cz=bz+cx=1$なる$b,c,x,y,z$を探せば良いですね.前2式より,$b(y-z)=c(x-z)$が成り立ちます.例えば,$b=x-z,c=y-z$とすればよさそうですね.この調子で連立方程式を解いていくと,
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a=0 \\ b=x-z \\ c=y-z \\ 1=xy-z^2 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

が得られます.あとは適当にこれを満たすような数を見つければ良いですがこれは簡単ですね.$(a,b,c,x,y,z)=(0,1-\sqrt{2},3-\sqrt{2},1,3,\sqrt{2})$などが実際に満たします.よって,最大数は2以下であるが実際に2つ構成することはできるので最大値は2となります.