外心と傍心を結ぶ直線に垂直な直線

三角形$ABC$において, 辺$AB, AC$上の点$D, E$が$BD=CE$をみたす. 三角形$ABC$の外接円と三角形$ADE$の交点を$L(\neq A)$, $BC$の中点を$M$, $DE$の中点を$N$, $AN$と三角形$ABC$の外接円の交点を$K(\neq A)$としたとき, $K, L, M, N$が同一円周上にあることを示せ.

問題$1$

三角形$ABC$の内部に点$P$をとり, 直線$BP$と辺$AC$の交点を$Q$, 直線$CP$と辺$AB$の交点を$R$とする. $AR=RB=CP$かつ$CQ=PQ$であるとき, $\angle BRC$の大きさを求めよ.

問題$2$

$ABC$を, 垂心を$H$とする鋭角三角形とする. $G$を, 四角形$ABGH$が平行四辺形であるような点とし, $I$を, $GH$上の点であって$AC$が$HI$を二等分するような点とする. $AC$が三角形$GCI$の外接円と$C, J$で交わっているとするとき, $IJ=AH$を示せ.

問題$3$

$ABC$を$AB\neq AC$を満たす三角形とし, その外接円を$\omega$とする. $I$を三角形$ABC$の内心とし, 三角形$ABC$の内接円と$BC$との接点を$D$とする. $AI$を直径とする円と$\omega$の交点を$K\neq A$とし,$AI$と$\omega$との交点を$M(\neq A)$としたとき, $K, D, M$ は一直線上に並ぶことを示せ.

問題$4$

$ABC$を, $AB< AC$をみたす三角形とし, その外接円を$\Gamma$とする. 内接円と辺$BC, CA, AB$との接点をそれぞれ$D, E, F$とし, $D$から$EF$に下ろした垂線の足を$R$, 角$BAC$の外角の二等分線と$\Gamma$との交点を$S(\neq A)$とする. $AR$と$SD$は$\Gamma$上で交わることを示せ.

問題$5$

補題$3$と同様に点を定め, $I$と$O$の中点を$S$としたとき, $OJ$と$ST$が平行であることを示せ.

問題$6$

問題$6$と同様に点を定め, また三角形$ABC$の外接円と$BI, CI$との交点をそれぞれ$Q(\neq B), P(\neq C)$, $PQ$と$BC$との交点を$R$としたときに, $IR\perp ST$を示せ.

問題$7$

$BC< AB$, $BC< AC$なる三角形$ABC$の辺$AB, AC$上にそれぞれ点$D, E$があり, $BD=CE=BC$をみたしている. 直線$BE$と直線$CD$の交点を$P$とする. 三角形$ABE$の外接円と三角形$ACD$の外接円の交点のうち$A$でない方を$Q$としたとき, 直線$PQ$と直線$BC$は垂直に交わることを示せ.

問題$8$