7

収束先に黄金数を含んだ級数

208
1
$$$$

はじめに

$$ \sum_{n=0}^{∞} \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}(-1)^n = \frac{4}{ \sqrt{5} } \ln \Big(\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \Big) $$

今回は、この等式を導出してみようと思います。
収束先に黄金数が含まれていますし、導出もそんなに難しくないので個人的に結構気に入っています。

準備(ベータ関数について)

ベータ関数の定義と公式をおさらいしておきましょう。

ベータ関数 定義

$$ B(p,q)≔ \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx $$

ベータ関数 公式

$$ B(p,q)= \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!} $$

なお、ここでは$p,q $は自然数としています。

本題

$ \phi _{1}= \frac{1+ \sqrt{5} }{2}$,$ \phi _{2} = \frac{1- \sqrt{5} }{2} $とします。

$$ \int_{0}^{1} \frac{dx}{-x^2+x+1} $$
$$ =-\int_{0}^{1} \frac{1}{(x- \phi _{1} )(x- \phi _{2} )} $$
$$ =- \frac{1}{ \sqrt{5} } \int_{0}^{1} \frac{1}{x- \phi _{1} } - \frac{1}{x- \phi _{2} }dx $$
$$ =- \frac{1}{ \sqrt{5} } \left[ \ln \left| \frac{x- \phi _{1} }{ x- \phi _{2} } \right| \right]_{0}^{1} $$
$$ = \frac{1}{ \sqrt{5} } \lbrace \ln \Big( \frac{ \sqrt{5}+1}{ \sqrt{5}-1}\Big) -\ln \Big( \frac{ \sqrt{5}-1}{ \sqrt{5}+1}\Big)\rbrace $$
$$ =\frac{2}{ \sqrt{5} } \ln \Big( \frac{ \sqrt{5}+1}{ \sqrt{5}-1}\Big) $$
$$ =\frac{4}{ \sqrt{5} } \ln \Big( \frac{ 1+\sqrt{5}}{2}\Big) \cdots(☆) $$

一方で
$$ \int_{0}^{1} \frac{dx}{-x^2+x+1} $$
$$ = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x(1-x)} $$
$$ =\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{∞}x^n(1-x)^n(-1)^n dx $$
$$ =\sum_{n=0}^{∞}\int_{0}^{1} x^n(1-x)^n(-1)^n dx $$
$$ =\sum_{n=0}^{∞}(-1)^n\int_{0}^{1} x^n(1-x)^n dx $$
$$ =\sum_{n=0}^{∞}(-1)^nB(n+1,n+1) $$
$$ =\sum_{n=0}^{∞} \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}(-1)^n \cdots(★) $$

よって、(☆)(★)から
$$ \sum_{n=0}^{∞} \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}(-1)^n = \frac{4}{ \sqrt{5} } \ln \Big(\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \Big) $$
となることが分かりました!!(/・ω・)/

以上です。
ここまで読んでいただきありがとうございました
(/・ω・)/(/・ω・)/(/・ω・)/

投稿日:2022108

投稿者

リア充になりたい!!!˙꒳​˙

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中