収束先に黄金数を含んだ級数

はじめに

今回は、この等式を導出してみようと思います。
収束先に黄金数が含まれていますし、導出もそんなに難しくないので個人的に結構気に入っています。

準備(ベータ関数について)

ベータ関数の定義と公式をおさらいしておきましょう。

なお、ここでは$p,q$は自然数としています。

本題

${\varphi }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,${\varphi }_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$とします。

$${\int }_0^1\frac{dx}{-x^2+x+1}$$
$$=-{\int }_0^1\frac{1}{(x-{\varphi }_1)(x-{\varphi }_2)}$$
$$=-\frac{1}{\sqrt{5}}{\int }_0^1\frac{1}{x-{\varphi }_1}-\frac{1}{x-{\varphi }_2}dx$$
$$=-\frac{1}{\sqrt{5}}{[\ln \left|\frac{x-{\varphi }_1}{x-{\varphi }_2}\right|]}_0^1$$
$$=\frac{1}{\sqrt{5}}\{\ln (\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1})-\ln (\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1})\}$$
$$=\frac{2}{\sqrt{5}}\ln (\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1})$$
$$=\frac{4}{\sqrt{5}}\ln (\frac{1+\sqrt{5}}{2})\cdots (☆)$$

一方で
$${\int }_0^1\frac{dx}{-x^2+x+1}$$
$$={\int }_0^1\frac{dx}{1+x(1-x)}$$
$$={\int }_0^1\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n(1-x{)}^n(-1{)}^{n}dx$$
$$=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^1{x}^n(1-x{)}^n(-1{)}^{n}dx$$
$$=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{\int }_0^1{x}^n(1-x{)}^{n}dx$$
$$=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^{n}B(n+1,n+1)$$
$$=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(n!{)}^2}{(2n+1)!}(-1{)}^n\cdots (★)$$

よって、(☆)(★)から
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(n!{)}^2}{(2n+1)!}(-1{)}^n=\frac{4}{\sqrt{5}}\ln (\frac{1+\sqrt{5}}{2})$$
となることが分かりました！！(/・ω・)/

以上です。
ここまで読んでいただきありがとうございました
(/・ω・)/(/・ω・)/(/・ω・)/