模擬テスト8-2
[1]$a$を定数とするとき、次の連立方程式を解け。
(i)
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x + ay = 1 \\
ax + y = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
(ii)
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3x + 2y = 3 \\
6x + ay = a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
(iii)
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2ax + (a+1)y = 2 \\
x + ay = a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
[2]次の行列を求めよ。
(i)原点を中心に反時計回りに点を$30^{\circ}$回転させる変換を表す行列を$A$とするとき、$A^{3}$
(ii)原点を中心に反時計回りに点を$-150^{\circ}$回転させる変換を表す行列
(iii)
$
\left(
\begin{array}{cc}
\displaystyle \cos5^\circ & \displaystyle -\sin5^\circ\\
\sin5^\circ & \displaystyle \cos5^\circ
\end{array}
\right)^{24}
$
[3]原点を中心に反時計回りに点を$\theta$回転させる変換を表す行列を答えよ。
[4]原点を中心に反時計回りに点を$105^\circ$回転させる変換を表す行列を求めよ。また、この行列が表す1次変換による点$(2,3)$の像を求めよ。
[5]重心が原点$O$である正三角形$ABC$がある。点$A$の座標が$(4,2)$であるとき、$2$点$B,C$の座標を求めよ。
[6]$x,y$の連立方程式$ \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
4 & 2 \\
2 & 7
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
x\\
y
\end{array}
\right)
=
k
\left(
\begin{array}{cc}
x\\
y
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} $について次の問に答えよ。
(i)「無数の解を持つ」とき定数$k$の値を求めよ。
(ii) (i)で求めた$k$の値に対して、連立方程式の解で$x=1$を満たすものを求めよ。
[7]
$
A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 4\\
2 & -1
\end{array}
\right)
$によって表される1次変換によって、直線$y=mx$上の点が常に同じこの直線上に移る時、$m$の値を求めよ。
[8]
$
A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 4\\
2 & -1
\end{array}
\right)
$によって表される1次変換によって、直線$y=mx$上の点が直線$y=x$上に移る時、$m$の値を求めよ。
[9]
(i)直線$y=mx$に関する対称移動を表す行列を求めよ。
(ii)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$に関する対称移動を表す行列を求めよ。
(iii)直線$y=5x$に関する対称移動を表す行列を求めよ。
[10]
$a$を実数の定数とする。
連立一次方程式$ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(a-1)x+3y=a-1 \\
2ax + (a+4)y = 2a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $の解の個数を求めよ。(無数にあるときはそのように答えよ。)