模擬テスト8-2

[1]$a$を定数とするとき、次の連立方程式を解け。
(i)
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x+ay=1\\ ax+y=1\end{array}\end{array}$$
　
　
　
　
　
(ii)
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}3x+2y=3\\ 6x+ay=a\end{array}\end{array}$$
　
　
　
(iii)
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}2ax+(a+1)y=2\\ x+ay=a\end{array}\end{array}$$
　
　
　
　
　
　
[2]次の行列を求めよ。
(i)原点を中心に反時計回りに点を${30}^{\circ }$回転させる変換を表す行列を$A$とするとき、$A^3$

　
　
　
　
　
　
　
　
　
(ii)原点を中心に反時計回りに点を$-{150}^{\circ }$回転させる変換を表す行列
　
　
　
　
　
(iii)
${\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \cos 5^{\circ }}& {\displaystyle -\sin 5^{\circ }}\\ \sin 5^{\circ }& {\displaystyle \cos 5^{\circ }}\end{array}\right)}^{24}$
　
　　
　
　
　
　
[3]原点を中心に反時計回りに点を$\theta$回転させる変換を表す行列を答えよ。
　
　
　
　
　
　
[4]原点を中心に反時計回りに点を${105}^{\circ }$回転させる変換を表す行列を求めよ。また、この行列が表す1次変換による点$(2,3)$の像を求めよ。
　
　
　
　
　
　
　
　
[5]重心が原点$O$である正三角形$ABC$がある。点$A$の座標が$(4,2)$であるとき、$2$点$B,C$の座標を求めよ。　
　
　
　
　
　
　
　
　
[6]$x,y$の連立方程式$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\end{array}$について次の問に答えよ。
(i)「無数の解を持つ」とき定数$k$の値を求めよ。
(ii) (i)で求めた$k$の値に対して、連立方程式の解で$x=1$を満たすものを求めよ。
　
　
　
　
　
[7]
$A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& -1\end{array}\right)$によって表される1次変換によって、直線$y=mx$上の点が常に同じこの直線上に移る時、$m$の値を求めよ。
　
　
　
　
　
　
[8]
$A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& -1\end{array}\right)$によって表される1次変換によって、直線$y=mx$上の点が直線$y=x$上に移る時、$m$の値を求めよ。
　
　
　
　
　
[9]
(i)直線$y=mx$に関する対称移動を表す行列を求めよ。
　
　
　
　
　
(ii)直線${\displaystyle y=\frac{1}{2}x}$に関する対称移動を表す行列を求めよ。
　
　
　
　
(iii)直線$y=5x$に関する対称移動を表す行列を求めよ。
　
　
　
　
　
[10]
$a$を実数の定数とする。
連立一次方程式$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}(a-1)x+3y=a-1\\ 2ax+(a+4)y=2a\end{array}\end{array}$の解の個数を求めよ。(無数にあるときはそのように答えよ。)